Qual dos Subconjuntos do Espaço Vetorial V=R^3 Não é um Subespaço de V=R^3 ? B) S=(x, y, z) in R^3 / 2 x+y-2 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=R^3 e o subconjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid 2x + y - 2z = 0
A tarefa é verificar se S é um subespaço de R^3. Para isso, precisamos checar três propriedades fundamentais de subespaço:
  1. O vetor nulo de R^3 pertence a S.
  2. Fechamento de S sob adição de vetores.
  3. Fechamento de S sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor nulo (0,0,0) em S. Substituindo em 2x+y-2z=0, temos
2cdot 0 + 0 - 2cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)in S.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) dois vetores em S. Então
2x1 + y1 - 2z1 = 0 e 2x2 + y2 - 2z2 = 0
Somando as duas igualdades,
2(x1+x2) + (y1+y2) - 2(z1+z2) = 0 + 0 = 0,
o que mostra que u+v também satisfaz a equação e, portanto, u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja u=(x,y,z)in S e alphainR. Como 2x+y-2z=0, multiplicando por alpha obtemos
2(alpha x) + (alpha y) - 2(alpha z) = alpha,(2x+y-2z) = alphacdot 0 = 0,
logo alphau = (alpha x,alpha y,alpha z) pertence a S.

Resposta

O conjunto S satisfaz as três propriedades necessárias a um subespaço de R^3. Portanto, S É um subespaço de V=R^3.

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