O polinômio p(t)=16 t^2+15 t+2 escrito como combinação linear dos polinômios p1(t)=t^2+2 t-3, p2(t)=2 t^2+3 t+8 e p3(t)=-3 t^2+t+5, é equivalente a: a) 2 p1+5 p2-7 p3

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio
p(t)=16,t^2+15,t+2
como combinação linear dos polinômios
p1(t)=t^2+2,t-3, p2(t)=2,t^2+3,t+8, p3(t)=-3,t^2+t+5
Estamos no espaço vetorial P2 (polinômios de grau <=2) e vamos encontrar escalares alpha,beta,gamma tais que
p(t)=alpha,p1(t)+beta,p2(t)+gamma,p3(t)

Passo 2

Escrevendo a combinação e agrupando termos em potências de t:
alpha,(t^2+2t-3)+beta,(2t^2+3t+8)+gamma,(-3t^2+t+5)
=(alpha+2beta-3gamma),t^2+(2alpha+3beta+gamma),t+(-3alpha+8beta+5gamma)

Passo 3

Para coincidir com 16,t^2+15,t+2, igualamos coeficientes e obtemos o sistema
alpha +2beta -3gamma =16
2alpha+3beta +gamma =15
-3alpha+8beta +5gamma =2

Passo 4

Resolvendo o sistema:
1. De alpha+2beta-3gamma=16 vem alpha=16-2beta+3gamma.
2. Substituindo na segunda equação:
2(16-2beta+3gamma)+3beta+gamma=15 ;Longrightarrow;-,beta+7gamma=-17 ;Longrightarrow;beta=7gamma+17
3. Então alpha=16-2(7gamma+17)+3gamma=-18-11gamma.
4. Na terceira equação:
-3(-18-11gamma)+8(7gamma+17)+5gamma=2 ;Longrightarrow;190+94gamma=2 ;Longrightarrow;gamma=-2
5. Logo beta=7(-2)+17=3 e alpha=-18-11(-2)=4.

Passo 5

Concluímos que
p(t)=4,p1(t)+3,p2(t)-2,p3(t)
Portanto a alternativa a) 2,p1+5,p2-7,p3 não é correta.

Resposta

p(t)=4,p1(t)+3,p2(t)-2,p3(t).

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