Considere as seguintes afirmações:
I. Se duplicarmos os comprimentos dos lados de um retângulo, sua área também duplica.
II. Se duplicarmos o perímetro de uma circunferência, o seu raio também dobra.
III. Se duplicarmos as arestas de um cubo, o seu volume também duplica.
É correto o que se afirma em
(A) II, apenas.
(B) III, apenas.
© I e II, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) I, II e III.
I. Se duplicarmos os comprimentos dos lados de um retângulo, sua área também duplica.
II. Se duplicarmos o perímetro de uma circunferência, o seu raio também dobra.
III. Se duplicarmos as arestas de um cubo, o seu volume também duplica.
É correto o que se afirma em
(A) II, apenas.
(B) III, apenas.
© I e II, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) I, II e III.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre o que acontece quando duplicamos certas medidas geométricas de figuras e sólidos. Precisamos verificar quais dessas afirmações são verdadeiras usando conceitos de geometria.
Conteúdo da matéria: Geometria plana e espacial, envolvendo área de retângulos, perímetro de circunferências e volume de cubos.
O que vamos precisar: Fórmulas de área, perímetro e volume para calcular e comparar os resultados quando as medidas são duplicadas.
Passo 2
Analisando a afirmação I:
“Se duplicarmos os comprimentos dos lados de um retângulo, sua área também duplica.”
“Se duplicarmos os comprimentos dos lados de um retângulo, sua área também duplica.”
Vamos verificar isso:
- Seja um retângulo com comprimento $ l $ e largura $ w $.
- A área original é $ A = l \times w $.
- Se duplicarmos os lados, os novos comprimentos serão $ 2l $ e $ 2w $.
- A nova área será $ A’ = (2l) \times (2w) = 4lw $.
Comparação:
A área quadruplicou ($ 4lw $) em vez de duplicar. Portanto, a afirmação I é falsa.
A área quadruplicou ($ 4lw $) em vez de duplicar. Portanto, a afirmação I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação II:
“Se duplicarmos o perímetro de uma circunferência, o seu raio também dobra.”
“Se duplicarmos o perímetro de uma circunferência, o seu raio também dobra.”
Vamos verificar isso:
- O perímetro (ou circunferência) é dado por $ P = 2\pi r $, onde $ r $ é o raio.
- Se o perímetro for duplicado, então $ P’ = 2P = 2(2\pi r) = 4\pi r $.
- Vamos ver o que acontece com o raio:
Se duplicarmos o raio, temos $ r’ = 2r $, e o novo perímetro será $ P’’ = 2\pi r’ = 2\pi (2r) = 4\pi r $.
Comparação:
$ P’ = P’’ = 4\pi r $, ou seja, ao duplicar o perímetro, o raio também foi duplicado. Portanto, a afirmação II é verdadeira.
$ P’ = P’’ = 4\pi r $, ou seja, ao duplicar o perímetro, o raio também foi duplicado. Portanto, a afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação III:
“Se duplicarmos as arestas de um cubo, o seu volume também duplica.”
“Se duplicarmos as arestas de um cubo, o seu volume também duplica.”
Vamos verificar isso:
- O volume de um cubo é dado por $ V = a^3 $, onde $ a $ é a aresta.
- Se duplicarmos as arestas, temos $ a’ = 2a $.
- O novo volume será $ V’ = (2a)^3 = 8a^3 $.
Comparação:
O volume octuplicou ($ 8a^3 $) em vez de duplicar. Portanto, a afirmação III é falsa.
O volume octuplicou ($ 8a^3 $) em vez de duplicar. Portanto, a afirmação III é falsa.
Resposta
A única afirmação verdadeira é a II. Portanto, a resposta correta é a alternativa (A) II, apenas.