Se
for racional, temos um irracional que elevado a irracional dá um racional. Se, por outro lado,
for irracional, como
, teremos um exemplo de um irracional que elevado a um irracional dá um racional. O argumento acima prova que:
(A)
é um número irracional.
(B)
é um número racional.
© existem
e
irracionais tais que
é irracional.
(D) existem
e
irracionais tais que
é racional.
(E) se
e
são irracionais, então
é racional.
(A)
(B)
© existem
(D) existem
(E) se
Passo 1
Então, a gente tem uma questão que fala sobre números irracionais e racionais, especificamente envolvendo potências de números irracionais. O exercício apresenta a expressão
e discute duas possibilidades sobre se esse número é racional ou irracional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números racionais e irracionais, além de como funcionam as potências com esses números.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Um número irracional não pode ser escrito dessa forma; ele tem uma representação decimal infinita e não periódica, como
ou
.
Agora, a expressão que estamos analisando é
. Queremos descobrir se esse número é racional ou irracional. O exercício nos dá duas possibilidades e nos pede para concluir qual das alternativas está correta com base nisso.
Passo 3
Vamos considerar a primeira possibilidade: se
for racional, então temos um exemplo de um número irracional (
) elevado a um número irracional (
) que resulta em um número racional. Isso já seria um caso interessante!
Mas e a segunda possibilidade? Se
for irracional, então podemos elevar esse número irracional novamente a
:
Aqui, vemos que mesmo começando com números irracionais e realizando operações com eles, acabamos com um número racional, que é o 3.
Passo 4
Assim, independentemente de
ser racional ou irracional, conseguimos demonstrar que existem dois números irracionais que, quando um é elevado ao outro, resultam em um número racional. Isso nos leva a concluir que a afirmação correta é a que diz que existem
e
irracionais tais que
é racional.
Resposta
A alternativa correta é a (D): existem
e
irracionais tais que
é racional.