Se raiz3^raiz2 for racional, temos um irracional que elevado a irracional dá um racional. Se, por outro lado, raiz3^raiz2 for irracional, como (raiz3^raiz2)^raiz2=raiz3^2=3, teremos um exemplo de um irracional que elevado a um irracional dá um racional. O argumento acima prova que:
(A) raiz3^raiz2 é um número irracional.
(B) raiz3^raiz2 é um número racional.
© existem x e y irracionais tais que x^y é irracional.
(D) existem x e y irracionais tais que x^y é racional.
(E) se x e y são irracionais, então x^y é racional.

Passo 1

Então, a gente tem uma questão que fala sobre números irracionais e racionais, especificamente envolvendo potências de números irracionais. O exercício apresenta a expressão raiz3^raiz2 e discute duas possibilidades sobre se esse número é racional ou irracional. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números racionais e irracionais, além de como funcionam as potências com esses números.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um número racional é aquele que pode ser expresso como uma fração ab, onde a e b são inteiros e b neq 0. Um número irracional não pode ser escrito dessa forma; ele tem uma representação decimal infinita e não periódica, como raiz2 ou pi.
Agora, a expressão que estamos analisando é raiz3^raiz2. Queremos descobrir se esse número é racional ou irracional. O exercício nos dá duas possibilidades e nos pede para concluir qual das alternativas está correta com base nisso.

Passo 3

Vamos considerar a primeira possibilidade: se raiz3^raiz2 for racional, então temos um exemplo de um número irracional ( raiz3) elevado a um número irracional ( raiz2) que resulta em um número racional. Isso já seria um caso interessante!
Mas e a segunda possibilidade? Se raiz3^raiz2 for irracional, então podemos elevar esse número irracional novamente a raiz2:
(raiz3^raiz2)^raiz2 = raiz3^2 = 3
Aqui, vemos que mesmo começando com números irracionais e realizando operações com eles, acabamos com um número racional, que é o 3.

Passo 4

Assim, independentemente de raiz3^raiz2 ser racional ou irracional, conseguimos demonstrar que existem dois números irracionais que, quando um é elevado ao outro, resultam em um número racional. Isso nos leva a concluir que a afirmação correta é a que diz que existem x e y irracionais tais que x^y é racional.

Resposta

A alternativa correta é a (D): existem x e y irracionais tais que x^y é racional.

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