Verifique se a função
satisfaz as condições para ser uma função de densidade de probabilidade
no intervalo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função
definida no intervalo
. A tarefa é verificar se essa função pode ser considerada uma função de densidade de probabilidade
nesse intervalo. Para isso, vamos precisar conhecer as condições que uma função deve satisfazer para ser uma função de densidade de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para ser uma função de densidade de probabilidade válida,
deve cumprir duas condições principais:
-
Não-negatividade: Para todo
no intervalo , . -
Integral igual a 1: A integral de
de 0 a 10 deve ser igual a 1, ou seja, .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a função
.
Passo 3
Verificando a não-negatividade:
Vamos analisar o sinal de
no intervalo
.
Podemos fatorar:
Os fatores são
e
.
Considerando o intervalo
:
- Para
, e , então .
Além disso:
- Em
: - Em
:
Portanto,
no intervalo
, com valores negativos para
.
Passo 4
Como vimos, a função
não é sempre não-negativa no intervalo
; na verdade, ela é negativa para todos os
em
. Isso já viola a primeira condição necessária para ser uma função de densidade de probabilidade, que exige que a função seja não-negativa em todo o intervalo.
Mesmo que a integral de
no intervalo fosse igual a 1 (o que não é o caso aqui), a presença de valores negativos desqualifica
como uma função de densidade de probabilidade válida.
Resposta
A função
não satisfaz as condições para ser uma função de densidade de probabilidade no intervalo
, pois assume valores negativos nesse intervalo.