Verifique se a função g(t)=t(t-10) satisfaz as condições para ser uma função de densidade de probabilidade f(t) no intervalo [0,10].

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função definida no intervalo . A tarefa é verificar se essa função pode ser considerada uma função de densidade de probabilidade nesse intervalo. Para isso, vamos precisar conhecer as condições que uma função deve satisfazer para ser uma função de densidade de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para ser uma função de densidade de probabilidade válida, deve cumprir duas condições principais:
  1. Não-negatividade: Para todo no intervalo , .
  2. Integral igual a 1: A integral de de 0 a 10 deve ser igual a 1, ou seja, .
Vamos verificar cada uma dessas condições para a função .

Passo 3

Verificando a não-negatividade:
Vamos analisar o sinal de g(t) = t(t - 10) = t^2 - 10t no intervalo g(t) = t(t - 10) .
Podemos fatorar:
Os fatores são e .
Considerando o intervalo :
  • Para , e , então .
Além disso:
  • Em :
  • Em :
Portanto, no intervalo , com valores negativos para .

Passo 4

Como vimos, a função não é sempre não-negativa no intervalo ; na verdade, ela é negativa para todos os em . Isso já viola a primeira condição necessária para ser uma função de densidade de probabilidade, que exige que a função seja não-negativa em todo o intervalo.
Mesmo que a integral de no intervalo fosse igual a 1 (o que não é o caso aqui), a presença de valores negativos desqualifica como uma função de densidade de probabilidade válida.

Resposta

A função não satisfaz as condições para ser uma função de densidade de probabilidade no intervalo , pois assume valores negativos nesse intervalo.

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