Prove que:
cos (A+B)=cos A cdot cos B-sen A cdot sen B

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B
O conteúdo aqui é trigonometria no círculo unitário e rotação de vetores no plano. Para provar, vamos usar a interpretação geométrica de rotação de um ponto em torno da origem.

Passo 2

Em coordenadas, a rotação de um ponto (x,y) em torno da origem por um ângulo A transforma
(x,y);longmapsto;l(xcos A - ysin A,;xsin A + ycos Ar)
Isso decorre da decomposição de (x,y) em projeções nos eixos e do fato de que as componentes giram com a soma de ângulos.

Passo 3

Considere o ponto P no círculo unitário formando ângulo B com o eixo x. Suas coordenadas são
P = (cos B,;sin B)
Se rotacionarmos P por um ângulo A, obtemos um ponto Q que está no círculo unitário com ângulo A+B.

Passo 4

Aplicando a fórmula de rotação a P,
Qx = cos Bcos A - sin Bsin A, Qy = cos Bsin A + sin Bcos A
Por outro lado, como Q corresponde a ângulo A+B, suas coordenadas devem ser
Q = l(cos(A+B),;sin(A+B)r)

Passo 5

Basta comparar as abscissas de Q. Igualando
cos(A+B)=cos Bcos A-sin Bsin A,
chegamos à fórmula desejada.

Resposta

Já está demonstrado que cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B.

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