Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
O conteúdo aqui é trigonometria no círculo unitário e rotação de vetores no plano. Para provar, vamos usar a interpretação geométrica de rotação de um ponto em torno da origem.
Passo 2
Em coordenadas, a rotação de um ponto
em torno da origem por um ângulo
transforma
Isso decorre da decomposição de
em projeções nos eixos e do fato de que as componentes giram com a soma de ângulos.
Passo 3
Considere o ponto
no círculo unitário formando ângulo
com o eixo
. Suas coordenadas são
Se rotacionarmos
por um ângulo
, obtemos um ponto
que está no círculo unitário com ângulo
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de rotação a
,
Por outro lado, como
corresponde a ângulo
, suas coordenadas devem ser
Passo 5
Basta comparar as abscissas de
. Igualando
chegamos à fórmula desejada.
Resposta
Já está demonstrado que
.