Prove que:
sen(A+B)=sen A cdot cos B+sen B cdot cos A

Passo 1

A questão pede para provar a fórmula da soma de ângulos do seno:
sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A.
Para isso, vamos usar a interpretação geométrica no círculo trigonométrico e uma ideia de rotação de vetores no plano.

Passo 2

No círculo trigonométrico, o vetor
l(cos A,;sin Ar)
tem módulo igual a 1 e forma ângulo A com o eixo x. Se girarmos esse vetor de A por mais um ângulo B, o resultado é o vetor que forma ângulo A+B com o eixo x.

Passo 3

A rotação de um vetor no plano por um ângulo B é dada pela matriz
RB = cos B & -sin B sin B & cos B
Multiplicando RB pelo vetor inicial, obtemos
RB cos A sin A = cos Bcos A ; - ; sin Bsin A sin Bcos A ; + ; cos Bsin A

Passo 4

Esse vetor resultante é exatamente
l(cos(A+B),;sin(A+B)r).
Comparando o segundo componente, concluímos
sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A

Resposta

sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A

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