Resolva o sistema A \mathbf{x}=\mathbf{b} usando fatoração LU, onde:
A=\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\\\ 6 & 4 \end{array}\right], \quad \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 8 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear A\mathbf{x}=\mathbf{b} usando fatoração LU. Os dados fornecidos são:
A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 6 & 4\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}2 \\[4pt] 8\end{pmatrix}.
A pergunta específica é: encontrar o vetor \mathbf{x} que satisfaz A\mathbf{x}=\mathbf{b}, usando a fatoração A=LU.]

Passo 2

O que é fatoração LU (explicação didática curta)?
A=LU
significa que escrevemos A como produto de uma matriz triangular inferior L (comumente com 1 na diagonal) e uma matriz triangular superior U. Para matrizes 2\times2 geralmente tomamos
L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12} \\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix}.
A vantagem prática é que, para resolver A\mathbf{x}=\mathbf{b}, fazemos dois passos:
  1. resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição direta (forward substitution), e depois
  2. resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição regressiva (back substitution).
    Vou mostrar como calcular L e U e depois como fazer essas substituições.]

Passo 3

Calculando os coeficientes de U e L a partir de A.
Para igualar A=LU com as formas acima, comparando entradas, obtemos:
u_{11}=a_{11}=3,\qquad u_{12}=a_{12}=1.
O multiplicador (entrada abaixo da diagonal em L) é dado por
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{6}{3}=2.
Finalmente computamos u_{22} com a fórmula
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}\,u_{12}=4-2\cdot 1=2.

Passo 4

Escrevendo explicitamente L e U encontrados:
L=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Cheque rápido (opcional, mas pedagógico): multiplicando L por U devemos recuperar A.
LU=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 3 + 0\cdot 0 & 1\cdot 1 + 0\cdot 2 \\[4pt] 2\cdot 3 + 1\cdot 0 & 2\cdot 1 + 1\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 6 & 4\end{pmatrix}=A.
Tudo bate certinho.]

Passo 6

Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b}\) por substituição direta. Escrevendo as equações de \(L\mathbf{y}=\mathbf{b}\) com \(\mathbf{y}=(y_1,y_2)^T\): \[\begin{cases} 1\cdot y_1 + 0\cdot y_2 = b_1 \\[4pt] 2\cdot y_1 + 1\cdot y_2 = b_2 \end{cases}
Substituindo b_1=2\] e \[b_2=8:
\begin{cases} y_1 = 2, \\[4pt] 2\cdot y_1 + y_2 = 8. \end{cases}
Usando (y_1=2] na segunda equação:
2\cdot 2 + y_2 = 8 \quad\Rightarrow\quad 4 + y_2 = 8 \quad\Rightarrow\quad y_2 = 4.
Portanto
\mathbf{y}=\begin{pmatrix}2 \\[4pt] 4\end{pmatrix}.]

Passo 7

Resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y}\) por substituição regressiva. Escrevendo as equações de \(U\mathbf{x}=\mathbf{y}\) com \(\mathbf{x}=(x_1,x_2)^T\): \[\begin{cases} 3x_1 + 1x_2 = y_1 \\[4pt] 0\cdot x_1 + 2x_2 = y_2 \end{cases}
Substituindo y_1=2\] e \(y_2=4:
Da segunda equação:
2x_2 = 4 \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{4}{2}=2.
Da primeira equação:
3x_1 + 1\cdot 2 = 2 \quad\Rightarrow\quad 3x_1 + 2 = 2 \quad\Rightarrow\quad 3x_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 0.
Assim
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}0 \\[4pt] 2\end{pmatrix}.]

Resposta

\mathbf{x}=\begin{pmatrix}0 \\[4pt] 2\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados