Considere as seguintes afirmações sobre a função
.
(I)
é decrescente em
;
(II)
crescente em
;
(III)
é decrescente em e
;
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são falsas.
(I)
(II)
(III)
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são falsas.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para verificar em quais dos intervalos abaixo ela é crescente ou decrescente:
(I)
(II)
(III)
O conteúdo necessário é o teste de monotonicidade via derivada de .
(I)
(II)
(III)
O conteúdo necessário é o teste de monotonicidade via derivada de
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Passo 3
Analisamos o sinal de
em
. Se
então
e
, logo
isto é,
. Portanto
é crescente em
e também em
. Assim a afirmação (I) é falsa.
Passo 4
Analisamos o sinal de
em
. Para
temos
e
, logo
ou seja,
. Assim
é decrescente em
e também em
. Logo a afirmação (II) é falsa.
Passo 5
Analisamos o sinal de
em
. Se
então
e
, logo
isto é,
. Portanto
é crescente em
e em
. Assim a afirmação (III) é falsa.
Passo 6
Como (I), (II) e (III) são todas falsas, a alternativa correta é:
Resposta
(d) Todas as afirmações são falsas.