Considere as seguintes afirmações sobre a função f(x)=x^{3}-3 x^{2}+1.
(I) f é decrescente em (-\infty, 0];
(II) f crescente em [0,2];
(III) f é decrescente em e [2,+\infty);
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=x^{3}-3x^{2}+1
e pede para verificar em quais dos intervalos abaixo ela é crescente ou decrescente:
(I) (-\infty,0]
(II) [0,2]
(III) [2,+\infty)
O conteúdo necessário é o teste de monotonicidade via derivada de f.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^3-3x^2+1\bigr)=3x^2-6x=3x(x-2).

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x) em (-\infty,0). Se x<0 então x<0 e x-2<0, logo
3x(x-2)>0,
isto é, f'(x)>0. Portanto f é crescente em (-\infty,0) e também em (-\infty,0]. Assim a afirmação (I) é falsa.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x) em (0,2). Para 0<x<2 temos x>0 e x-2<0, logo
3x(x-2)<0,
ou seja, f'(x)<0. Assim f é decrescente em (0,2) e também em [0,2]. Logo a afirmação (II) é falsa.

Passo 5

Analisamos o sinal de f'(x) em (2,+\infty). Se x>2 então x>0 e x-2>0, logo
3x(x-2)>0,
isto é, f'(x)>0. Portanto f é crescente em (2,+\infty) e em [2,+\infty). Assim a afirmação (III) é falsa.

Passo 6

Como (I), (II) e (III) são todas falsas, a alternativa correta é:

Resposta

(d) Todas as afirmações são falsas.

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