Considere as seguintes afirmações sobre a função f(x)=x^{3}-3 x^{2}+1.
(I) f possui um máximo local em x=0;
(II) f possui um máximo local em x=2;
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
c) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
d) Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-3x^{2}+1
e pede para verificar as afirmações:
(I) f tem um máximo local em x=0;
(II) f tem um máximo local em x=2.
O conteúdo é cálculo de derivadas e teste da segunda derivada para extremos locais.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada para achar os pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x^{2}+1\bigr)=3x^{2}-6x=3x(x-2).
Os pontos críticos são as raízes de f'(x)=0, ou seja, x=0 e x=2.

Passo 3

Usamos a segunda derivada para classificar cada ponto crítico:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6x\bigr)=6x-6.
Em x=0:
f''(0)=6\cdot0-6=-6<0,
logo há um máximo local em x=0.
Em x=2:
f''(2)=6\cdot2-6=6>0,
logo há um mínimo local em x=2, não um máximo.

Passo 4

Concluímos que a afirmação (I) é verdadeira e a afirmação (II) é falsa, pois em x=2 ocorre mínimo local.

Resposta

b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.

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