Considere as seguintes afirmações sobre a função
.
(I)
possui um máximo local em
;
(II)
possui um máximo local em
;
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
c) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
d) Todas as afirmações são falsas.
(I)
(II)
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
c) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
d) Todas as afirmações são falsas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar as afirmações:
(I) tem um máximo local em
;
(II) tem um máximo local em
.
O conteúdo é cálculo de derivadas e teste da segunda derivada para extremos locais.
(I)
(II)
O conteúdo é cálculo de derivadas e teste da segunda derivada para extremos locais.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada para achar os pontos críticos:
Os pontos críticos são as raízes de
, ou seja,
e
.
Passo 3
Usamos a segunda derivada para classificar cada ponto crítico:
Em
:
logo há um máximo local em
.
Em :
Em
logo há um mínimo local em
, não um máximo.
Passo 4
Concluímos que a afirmação (I) é verdadeira e a afirmação (II) é falsa, pois em
ocorre mínimo local.
Resposta
b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.