O valor da integral \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{3}(x) d x é:
a) -2 .
b) 3 / 2.
c) 1 / 3.
d) 4 / 3.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{3}(x)\,dx.
Isso envolve a técnica de integração por substituição, usando a identidade
\operatorname{sen}^{3}(x)=\operatorname{sen}(x)\bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr).

Passo 2

Reescrevemos a integral usando
\operatorname{sen}^{3}(x)=\operatorname{sen}(x)\bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr)
e fazemos a substituição
u=\cos(x), \quad du=-\operatorname{sen}(x)\,dx.
Então
\operatorname{sen}(x)\,dx=-du
e os limites mudam de x=0\to u=\cos(0)=1 e x=\pi\to u=\cos(\pi)=-1.

Passo 3

A integral passa a ser
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{3}(x)\,dx =\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr)\,dx =-\int_{u=1}^{u=-1}\bigl(1-u^{2}\bigr)\,du.
Invertendo os limites para tirar o sinal menos, obtemos
\int_{-1}^{1}\bigl(1-u^{2}\bigr)\,du.

Passo 4

Calculamos o antiderivado:
\int\bigl(1-u^{2}\bigr)\,du =u-\frac{u^{3}}{3}.
Avaliado de -1 a 1:
\Bigl[u-\frac{u^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{1} =\Bigl(1-\tfrac{1}{3}\Bigr)-\Bigl(-1+\tfrac{1}{3}\Bigr) =\frac{2}{3}-\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) =\frac{4}{3}.

Resposta

d) \displaystyle \frac{4}{3}

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