Dada f(x)=\ln \left(\sqrt{x^{2}+1}\right), o valor de f^{\prime}(1) é:
a) 1 / 2
b) 0 .
c) \frac{\sqrt{2}}{2}.
d) \sqrt{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\bigl(\sqrt{x^{2}+1}\bigr)
e pede f'(1). O conteúdo aqui é derivada de funções compostas, usando a regra da cadeia e a propriedade de logaritmos: \ln(\sqrt{u})=(1/2)\ln(u).

Passo 2

Vamos usar a propriedade de logaritmo para simplificar a função:
f(x)=\ln\bigl((x^{2}+1)^{1/2}\bigr)=\tfrac12\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 3

Agora derivamos
f'(x) =\tfrac12\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x^{2}+1)\bigr] =\tfrac12\cdot\frac{1}{x^{2}+1}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}+1) =\tfrac12\cdot\frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x =\frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Basta avaliar em x=1:
f'(1)=\frac{1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}.

Resposta

(a) \tfrac12

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