Considere as seguintes afirmações sobre a função
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1 .
(I) f é crescente em (-\infty, 1];
(II) f crescente em [1,3];
(III) f é crescente em e [3,+\infty);
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar em quais dos intervalos
(-\infty,1], [1,3] e [3,+\infty) a função
f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1
é crescente. O conteúdo usado será derivada para determinar a monotonicidade: onde f'(x)>0 a função é crescente (ou não decrescente).

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^3-6x^2+9x+1\bigr)=3x^2-12x+9
e fatoramos:
f'(x)=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\,.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x) nos intervalos determinados pelas raízes x=1 e x=3:
  • Para x<1: temos (x-1)<0 e (x-3)<0, logo (x-1)(x-3)>0 e f'(x)>0.
  • Para 1<x<3: temos (x-1)>0 e (x-3)<0, logo (x-1)(x-3)<0 e f'(x)<0.
  • Para x>3: temos (x-1)>0 e (x-3)>0, logo (x-1)(x-3)>0 e f'(x)>0.

Passo 4

Da análise de f'(x):
  • Em (-\infty,1) e em (3,+\infty) temos f'(x)>0, então f é crescente nesses intervalos, e como em x=1 e x=3 apenas f'(x)=0, não há inversão de sentido.
  • Em (1,3) temos f'(x)<0, então f é decrescente ali.
Portanto:
(I) é verdadeira,
(II) é falsa,
(III) é verdadeira.

Resposta

c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

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