Considere as seguintes afirmações sobre a função
(I)
é crescente em
;
(II)
crescente em
;
(III)
é crescente em e
;
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são falsas.
(II)
(III)
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são falsas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar em quais dos intervalos
,
e
a função
é crescente. O conteúdo usado será derivada para determinar a monotonicidade: onde
a função é crescente (ou não decrescente).
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
e fatoramos:
Passo 3
Analisamos o sinal de
nos intervalos determinados pelas raízes
e
:
- Para
: temos e , logo e . - Para
: temos e , logo e . - Para
: temos e , logo e .
Passo 4
Da análise de
:
- Em
e em temos , então é crescente nesses intervalos, e como em e apenas , não há inversão de sentido. - Em
temos , então é decrescente ali.
Portanto:
(I) é verdadeira,
(II) é falsa,
(III) é verdadeira.
(I) é verdadeira,
(II) é falsa,
(III) é verdadeira.
Resposta
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.