Uma mancha de óleo espalha-se no mar, em forma de círculo, de forma que seu raio cresce a uma taxa constante de 2 \mathrm{Km} / \mathrm{h}. Com que velocidade está crescendo a área da mancha quando o raio está medindo 1 Km ?
a) \pi \mathrm{Km} / \mathrm{h}.
b) 2 \pi \mathrm{Km} / \mathrm{h}.
c) 4 \pi \mathrm{Km} / \mathrm{h}.
d) 4 \pi^{2} \mathrm{Km} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado descreve uma mancha de óleo que se espalha em forma de círculo; o raio cresce a uma taxa constante de \frac{dr}{dt}=2 \mathrm{km/h}. Queremos a taxa de variação da área A em função do tempo quando o raio é r=1 \mathrm{km}. O conteúdo é um problema de taxas relacionadas usando derivadas.

Passo 2

A área de um círculo de raio r é dada por
A = \pi r^2.
Para encontrar como A varia no tempo, derivamos ambos os lados em relação a t:
\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(\pi r^2) = 2\pi r \,\frac{dr}{dt}.

Passo 3

Já sabemos que \frac{dr}{dt}=2 \mathrm{km/h} e vamos avaliar em r=1 \mathrm{km}. Substituindo em
\frac{dA}{dt} = 2\pi \,r\,\frac{dr}{dt}
temos
\frac{dA}{dt} = 2\pi \times 1 \times 2 = 4\pi.

Passo 4

Portanto, a taxa de crescimento da área no instante em que r=1 \mathrm{km} é
\frac{dA}{dt} = 4\pi\quad(\mathrm{km}^2/\mathrm{h}).

Resposta

c) 4\pi \mathrm{km}^2/\mathrm{h}

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