O valor da integral \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{\sqrt{2 x+1}}\right) d x é:
a) \sqrt{3}-1.
b) \sqrt{2}-1.
c) \sqrt{6}-1.
d) \sqrt{5}-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\,dx.
O conteúdo usado aqui é a técnica de substituição em integrais de funções do tipo (ax+b)^{n}.

Passo 2

Fazemos a substituição u = 2x + 1. Então
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, temos u=2\cdot0+1=1. Quando x=1, temos u=2\cdot1+1=3. A integral vira
\int_{u=1}^{u=3}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{3}u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 3

Calculamos a integral de u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2u^{\tfrac12}+C.
Logo
\frac{1}{2}\int_{1}^{3}u^{-\tfrac12}\,du = \frac{1}{2}\Bigl[2u^{\tfrac12}\Bigr]_{1}^{3} = \Bigl[u^{\tfrac12}\Bigr]_{1}^{3} = \sqrt{3}-\sqrt{1} = \sqrt{3}-1.

Resposta

a) \sqrt{3}-1.

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