Considere as seguintes afirmações sobre a função
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1
(I) f possui um mínimo local em x=1;
(II) f possui um máximo local em x=3;
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
c) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
d) Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1
e as afirmações sobre extremos locais em x=1 e x=3. Para resolver, vamos usar derivadas: primeiro encontramos f'(x) para achar pontos críticos, depois f''(x) para classificar cada um.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-6x^{2}+9x+1\bigr) =3x^{2}-12x+9 =3\,(x^{2}-4x+3) =3\,(x-1)(x-3).

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
3\,(x-1)(x-3)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1\quad\text{ou}\quad x=3.

Passo 4

Aplicamos o teste da derivada segunda para classificar:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-12x+9\bigr) =6x-12.
Em x=1:
f''(1)=6\cdot1-12=-6<0,
logo f tem um máximo local em x=1.
Em x=3:
f''(3)=6\cdot3-12=6>0,
logo f tem um mínimo local em x=3.

Passo 5

Confrontando com as afirmações:
(I) diz que há mínimo em x=1 – isso é falso (é máximo).
(II) diz que há máximo em x=3 – isso é falso (é mínimo).

Resposta

d) Todas as afirmações são falsas.

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