O valor da integral \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2 x+1}\right) d x é:
a) \ln (\sqrt{3}).
b) 1 .
c) \ln (3).
d) \ln (2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\frac{1}{2x+1}\,dx
O conteúdo envolvido é a antiderivada de uma função da forma \tfrac{1}{ax+b}, cuja primitiva é \tfrac{1}{a}\ln|ax+b|.

Passo 2

Encontramos a antiderivada de \tfrac{1}{2x+1}:
\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl|2x+1\bigr| + C
Isso porque, ao derivar \tfrac{1}{2}\ln(2x+1), o fator 2 do argumento cancela com \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Aplicamos o teorema fundamental do cálculo para avaliar de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{1}{2x+1}\,dx = \left[\frac{1}{2}\ln\bigl|2x+1\bigr|\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(\ln(3)-\ln(1)\bigr) = \frac{1}{2}\ln(3) = \ln\bigl(\sqrt{3}\bigr).

Resposta

a) \ln(\sqrt{3})

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