Seja F(x) a primitiva de f(x)=\frac{x}{e^{x^{2}}} tal que F(0)=0. O valor de F(\sqrt{\ln (2)}) é:
a) 0 .
b) 1 .
c) 1 / 4.
d) 1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva F(x) de f(x)=\frac{x}{e^{x^{2}}} que satisfaça F(0)=0, e depois deseja o valor de F(\sqrt{\ln(2)}). O conteúdo é integração por substituição e uso de condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para encontrar uma antiderivada de f(x)=x e^{-x^2}, fazemos a substituição
u = -x^2, \quad du = -2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Assim,
\int x e^{-x^2}\,dx = \int e^{u}\Bigl(-\tfrac{1}{2}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{2}e^{u} + C = -\tfrac{1}{2}e^{-x^2} + C.

Passo 3

Logo, uma primitiva geral é
F(x) = -\tfrac{1}{2}e^{-x^2} + C.
Usando a condição F(0)=0:
0 = F(0) = -\tfrac{1}{2}e^{0} + C = -\tfrac{1}{2} + C \;\Longrightarrow\; C = \tfrac{1}{2}.
Portanto
F(x) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}e^{-x^2} = \tfrac{1}{2}\bigl(1 - e^{-x^2}\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos em x = \sqrt{\ln(2)}:
F\bigl(\sqrt{\ln(2)}\bigr) = \tfrac{1}{2}\Bigl(1 - e^{-\bigl(\sqrt{\ln(2)}\bigr)^2}\Bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(1 - e^{-\ln(2)}\bigr) = \tfrac{1}{2}\bigl(1 - \tfrac{1}{2}\bigr) = \tfrac{1}{4}.

Resposta

\tfrac{1}{4} (alternativa (c))

Exercícios relacionados