Considere as seguintes afirmações sobre a função
(I)
é crescente em
;
(II)
decrescente em
;
(III)
é crescente em e
;
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são falsas.
(II)
(III)
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são falsas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a monotonicidade da função
nos intervalos
,
e
. O conteúdo envolvido é derivação e estudo do sinal de
para determinar onde
é crescente ou decrescente.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Passo 3
Encontramos as raízes de
:
ou seja,
e
.
Passo 4
Como
é um polinômio quadrático que abre para cima, temos
-
em , -
em , -
.
Isso implica queé estritamente crescente em e em , e estritamente decrescente em .
Passo 5
Analisando as afirmações:
(I) Em temos
e, para
,
. Logo, é verdadeira.
(II) Em temos
e, para
,
. Logo, é verdadeira.
(III) Em temos
e, para
,
. Logo, é verdadeira.
(I) Em
(II) Em
(III) Em
Resposta
(a) Todas as afirmações são verdadeiras.