Considere as seguintes afirmações sobre a função
f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{7}{2} x^{2}+10 x-8
(I) f é crescente em (-\infty, 2];
(II) f decrescente em [2,5];
(III) f é crescente em e [5,+\infty);
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a monotonicidade da função
f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{7}{2}x^{2}+10x-8
nos intervalos (-\infty,2], [2,5] e [5,+\infty). O conteúdo envolvido é derivação e estudo do sinal de f'(x) para determinar onde f é crescente ou decrescente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{3}}{3}-\frac{7}{2}x^{2}+10x-8\Bigr) =x^{2}-7x+10.

Passo 3

Encontramos as raízes de f'(x)=0:
x^{2}-7x+10=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{7\pm\sqrt{49-40}}{2} =\frac{7\pm3}{2},
ou seja, x=2 e x=5.

Passo 4

Como f'(x) é um polinômio quadrático que abre para cima, temos
  • f'(x)>0 em (-\infty,2)\cup(5,+\infty),
  • f'(x)<0 em (2,5),
  • f'(2)=f'(5)=0.
    Isso implica que f é estritamente crescente em (-\infty,2) e em (5,+\infty), e estritamente decrescente em (2,5).

Passo 5

Analisando as afirmações:
(I) Em (-\infty,2] temos f'(x)\ge0 e, para x_1<x_2\le2, f(x_1)<f(x_2). Logo, é verdadeira.
(II) Em [2,5] temos f'(x)\le0 e, para 2\le x_1<x_2\le5, f(x_1)>f(x_2). Logo, é verdadeira.
(III) Em [5,+\infty) temos f'(x)\ge0 e, para 5\le x_1<x_2, f(x_1)<f(x_2). Logo, é verdadeira.

Resposta

(a) Todas as afirmações são verdadeiras.

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