Considere as seguintes afirmações sobre a função f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{7}{2} x^{2}+10 x-8.
(I) f possui um mínimo local em x=5;
(II) f possui um máximo local em x=2;
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
c) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
d) Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{7}{2}x^{2}+10x-8
e pergunta sobre máximos e mínimos locais em x=2 e x=5. Para isso, vamos achar os pontos críticos usando
\,f'(x)=0
e depois aplicar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=\bigl(\tfrac{x^{3}}{3}\bigr)'-\bigl(\tfrac{7}{2}x^{2}\bigr)'+(10x)'-8' =\;x^{2}-7x+10.
Os pontos críticos satisfazem
x^{2}-7x+10=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{7\pm\sqrt{49-40}}{2}=\frac{7\pm3}{2},
ou seja x=2 e x=5.

Passo 3

Agora a segunda derivada:
f''(x)=(x^{2}-7x+10)'=2x-7.
Em x=2 temos
f''(2)=2\cdot2-7=4-7=-3<0,
logo f tem um máximo local em x=2.
Em x=5 temos
f''(5)=2\cdot5-7=10-7=3>0,
logo f tem um mínimo local em x=5.

Passo 4

Concluímos que a afirmação (I) “mínimo local em x=5” é verdadeira e a afirmação (II) “máximo local em x=2” também é verdadeira.

Resposta

a) Todas as afirmações são verdadeiras.

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