Dada f(x)=\frac{\ln (\sqrt{x+1})}{(x+1)^{2}}, o valor de f^{\prime}(0) é:
a) 1 .
b) 0 .
c) \frac{-3}{2 e^{4}}.
d) 1 / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{\ln\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)}{(x+1)^{2}}
e pede o valor de f'(0). Vamos usar simplificação algébrica e regras de derivação (produto e cadeia).

Passo 2

Observamos que
\ln\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)=\frac12\ln(x+1),
então podemos reescrever
f(x)=\frac12\,\ln(x+1)\,(x+1)^{-2}.

Passo 3

Definimos
u(x)=\ln(x+1), \quad v(x)=(x+1)^{-2}.
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u'(x)=\frac1{x+1}, \quad v'(x)=-2\,(x+1)^{-3}.
Pelo produto,
\frac{d}{dx}\bigl[u(x)v(x)\bigr] =(x+1)^{-3}-2\ln(x+1)\,(x+1)^{-3} =(x+1)^{-3}\bigl[1-2\ln(x+1)\bigr].

Passo 4

Multiplicando pelo fator \tfrac12, obtemos
f'(x) =\frac12\,(x+1)^{-3}\bigl[1-2\ln(x+1)\bigr].

Passo 5

Para x=0 temos \ln1=0 e (0+1)^{-3}=1. Portanto
f'(0) =\frac12\cdot1\cdot\bigl[1-2\cdot0\bigr] =\frac12.

Resposta

d) \tfrac12

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