Considere as seguintes afirmações sobre a função
(I)
é decrescente em
;
(II)
crescente em
;
(III)
é decrescente em e
;
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são falsas.
(II)
(III)
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são falsas.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para verificar se ela é decrescente em
, crescente em
e decrescente em
. Para isso, vamos usar o critério de monotonicidade via derivada: onde
,
é crescente; onde
,
é decrescente.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Passo 3
Fatoramos
:
As raízes são
e
. Como o coeficiente de
é positivo, o sinal de
é:
- Para
: e , logo . - Para
: e , logo . - Para
: e , logo .
Passo 4
Analisando cada intervalo:
- Em
, temos , então é crescente, logo a afirmação (I) é falsa. - Em
, temos , então é decrescente, logo a afirmação (II) é falsa. - Em
, temos , então é crescente, logo a afirmação (III) é falsa.
Resposta
d) Todas as afirmações são falsas.