Considere as seguintes afirmações sobre a função
f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{7}{2} x^{2}+10 x-8
(I) f é decrescente em (-\infty, 2];
(II) f crescente em [2,5];
(III) f é decrescente em e [5,+\infty);
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{7}{2}x^{2}+10x-8
e pede para verificar se ela é decrescente em (-\infty,2], crescente em [2,5] e decrescente em [5,+\infty). Para isso, vamos usar o critério de monotonicidade via derivada: onde f'(x)>0, f é crescente; onde f'(x)<0, f é decrescente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\biggl(\frac{x^{3}}{3}-\frac{7}{2}x^{2}+10x-8\biggr) =x^{2}-7x+10.

Passo 3

Fatoramos f'(x):
f'(x)=x^{2}-7x+10=(x-2)(x-5).
As raízes são x=2 e x=5. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, o sinal de f'(x) é:
  • Para x<2: (x-2)<0 e (x-5)<0, logo f'(x)>0.
  • Para 2<x<5: (x-2)>0 e (x-5)<0, logo f'(x)<0.
  • Para x>5: (x-2)>0 e (x-5)>0, logo f'(x)>0.

Passo 4

Analisando cada intervalo:
  • Em (-\infty,2], temos f'(x)\ge0, então f é crescente, logo a afirmação (I) é falsa.
  • Em [2,5], temos f'(x)\le0, então f é decrescente, logo a afirmação (II) é falsa.
  • Em [5,+\infty), temos f'(x)\ge0, então f é crescente, logo a afirmação (III) é falsa.

Resposta

d) Todas as afirmações são falsas.

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