O valor da integral \int_{-1}^{0}\left(x^{3}-2 \sqrt[3]{x}+4\right) d x é:
a) 21 / 4.
b) 3 / 2.
c) 1 / 3.
d) 11 / 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{0}\bigl(x^{3} - 2\sqrt[3]{x} + 4\bigr)\,dx.
O conteúdo é aplicação da regra de potência para obter a antiderivada de cada termo: x^{3}, x^{1/3} e constante.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva F(x). Note que \sqrt[3]{x}=x^{1/3}. Pelo teorema fundamental do cálculo e regra de potência,
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}, \quad \int -2x^{\tfrac{1}{3}}\,dx = -2\cdot\frac{x^{\tfrac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}} = -\frac{3}{2}\,x^{\tfrac{4}{3}}, \quad \int 4\,dx = 4x.
Logo,
F(x) = \frac{x^{4}}{4} \;-\;\frac{3}{2}\,x^{\tfrac{4}{3}} \;+\;4x.

Passo 3

Avaliaremos F(x) em x=0 e x=-1:
F(0) = 0 - 0 + 0 = 0,
F(-1) = \frac{(-1)^{4}}{4} - \frac{3}{2}(-1)^{\tfrac{4}{3}} + 4(-1) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 4 = -\frac{21}{4}.

Passo 4

Pelo teorema fundamental do cálculo,
\int_{-1}^{0}\bigl(x^{3}-2\sqrt[3]{x}+4\bigr)\,dx = F(0) - F(-1) = 0 - \Bigl(-\tfrac{21}{4}\Bigr) = \frac{21}{4}.

Resposta

a) \tfrac{21}{4}.

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