Considere as seguintes afirmações sobre a função f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{7}{2} x^{2}+10 x-8.
(I) f possui um máximo local em x=5;
(II) f possui um máximo local em x=2;
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
c) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
d) Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{7}{2}x^{2}+10x-8
e pede para verificar se há máximos locais em x=5 (afirmação I) e em x=2 (afirmação II). Vamos usar derivadas para encontrar os pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e achamos os pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{3}}{3}-\frac{7}{2}x^{2}+10x-8\Bigr) =x^{2}-7x+10.
Resolvendo f'(x)=0:
x^{2}-7x+10=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{7\pm\sqrt{49-40}}{2}=\frac{7\pm3}{2},
ou seja, x=2 e x=5.

Passo 3

Calculamos a segunda derivada para classificar cada ponto:
f''(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}-7x+10)=2x-7.

Passo 4

Avaliamos f'' em cada ponto crítico:
Para x=2:
f''(2)=2\cdot2-7=4-7=-3<0,
logo x=2 é ponto de máximo local.
Para x=5:
f''(5)=2\cdot5-7=10-7=3>0,
logo x=5 é ponto de mínimo local.

Resposta

c) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.

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