Considere as seguintes afirmações sobre a função
.
(I)
possui um máximo local em
;
(II)
possui um máximo local em
;
Neste caso, é correto afirmar que:
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
c) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
d) Todas as afirmações são falsas.
(I)
(II)
a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
c) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
d) Todas as afirmações são falsas.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se há máximos locais em
(afirmação I) e em
(afirmação II). Vamos usar derivadas para encontrar os pontos críticos e aplicar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada e achamos os pontos críticos:
Resolvendo
:
ou seja,
e
.
Passo 3
Calculamos a segunda derivada para classificar cada ponto:
Passo 4
Avaliamos
em cada ponto crítico:
Para :
Para
logo
é ponto de máximo local.
Para :
Para
logo
é ponto de mínimo local.
Resposta
c) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.