Considere as seguintes afirmaçōes:
- Todo vetor é um segmento de reta orientado.
- Todo elemento de um espaço vetorial é chamado de vetor.
- O conjunto formado por todos os polinômios de grau exatamente 2 é um espaço vetorial, considerando a soma e o produto por escalar usuais.
- Existe um espaço vetorial formado por apenas 2 vetores distintos.
São VERDADEIRAS as afirmaçōes:
Escolha uma opção:
a. 2 e 3
b. 1,2 e 3
C.
d. 1 e 4
e. Apenas 2
São VERDADEIRAS as afirmaçōes:
Escolha uma opção:
a. 2 e 3
b. 1,2 e 3
C.
d. 1 e 4
e. Apenas 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma questão que fala sobre espaços vetoriais e precisamos analisar quatro afirmações para ver quais são verdadeiras. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, o que são vetores dentro desse contexto e algumas propriedades desses espaços. Vamos examinar cada afirmação passo a passo para decidir quais estão corretas.
Passo 2
Afirmação 1: “Todo vetor é um segmento de reta orientado.”
Vamos entender o que isso significa. Em geometria, um vetor é frequentemente representado como um segmento de reta com uma direção e sentido específicos. Isso ajuda a visualizar a ideia de magnitude (comprimento) e direção. Então, nessa afirmação, estamos dizendo que todo vetor pode ser pensado dessa forma geométrica.
Conclusão: Verdadeira.
Passo 3
Afirmação 2: “Todo elemento de um espaço vetorial é chamado de vetor.”
Em álgebra linear, um espaço vetorial é uma coleção de objetos chamados vetores, que podem ser somados entre si e multiplicados por escalares (números). Esses vetores não precisam ser necessariamente flechas no espaço físico; eles podem ser conjuntos de números, funções, matrizes, etc. O importante é que eles respeitem as regras de um espaço vetorial.
Conclusão: Verdadeira.
Passo 4
Afirmação 3: “O conjunto formado por todos os polinômios de grau exatamente 2 é um espaço vetorial, considerando a soma e o produto por escalar usuais.”
Vamos analisar isso. Um espaço vetorial precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Se você pegar dois polinômios de grau exatamente 2 e somá-los, o resultado pode ser um polinômio de grau 2 ou menos (se os termos de
cancelarem). Portanto, o conjunto não é fechado sob adição, já que o resultado pode sair do conjunto original.
Conclusão: Falsa.
Passo 5
Afirmação 4: “Existe um espaço vetorial formado por apenas 2 vetores distintos.”
Vamos pensar nisso. Um espaço vetorial precisa conter o vetor zero e ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Se temos apenas dois vetores distintos, digamos
e
, precisamos ver se todos os vetores possíveis podem ser formados a partir deles usando adição e multiplicação por escalar. No entanto, o mínimo para um espaço vetorial é que seja possível gerar todos os vetores através dessas operações, o que geralmente requer um número infinito de combinações, a menos que
seja um múltiplo de
, o que na verdade reduziria o espaço a uma linha, considerando apenas combinações escalares de um único vetor.
Conclusão: Verdadeira, se considerarmos que um espaço vetorial pode ser gerado por um único vetor (o que é um caso especial com apenas dois vetores, onde um é múltiplo do outro).
Resposta
d. 1 e 4