Considere as seguintes afirmaçōes:
  1. Todo vetor é um segmento de reta orientado.
  2. Todo elemento de um espaço vetorial é chamado de vetor.
  3. O conjunto formado por todos os polinômios de grau exatamente 2 é um espaço vetorial, considerando a soma e o produto por escalar usuais.
  4. Existe um espaço vetorial formado por apenas 2 vetores distintos.
    São VERDADEIRAS as afirmaçōes:
    Escolha uma opção:
    a. 2 e 3
    b. 1,2 e 3
    C. 1,2,3 e 4
    d. 1 e 4
    e. Apenas 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma questão que fala sobre espaços vetoriais e precisamos analisar quatro afirmações para ver quais são verdadeiras. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, o que são vetores dentro desse contexto e algumas propriedades desses espaços. Vamos examinar cada afirmação passo a passo para decidir quais estão corretas.

Passo 2

Afirmação 1: “Todo vetor é um segmento de reta orientado.”
Vamos entender o que isso significa. Em geometria, um vetor é frequentemente representado como um segmento de reta com uma direção e sentido específicos. Isso ajuda a visualizar a ideia de magnitude (comprimento) e direção. Então, nessa afirmação, estamos dizendo que todo vetor pode ser pensado dessa forma geométrica.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 3

Afirmação 2: “Todo elemento de um espaço vetorial é chamado de vetor.”
Em álgebra linear, um espaço vetorial é uma coleção de objetos chamados vetores, que podem ser somados entre si e multiplicados por escalares (números). Esses vetores não precisam ser necessariamente flechas no espaço físico; eles podem ser conjuntos de números, funções, matrizes, etc. O importante é que eles respeitem as regras de um espaço vetorial.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 4

Afirmação 3: “O conjunto formado por todos os polinômios de grau exatamente 2 é um espaço vetorial, considerando a soma e o produto por escalar usuais.”
Vamos analisar isso. Um espaço vetorial precisa ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Se você pegar dois polinômios de grau exatamente 2 e somá-los, o resultado pode ser um polinômio de grau 2 ou menos (se os termos de x^2 cancelarem). Portanto, o conjunto não é fechado sob adição, já que o resultado pode sair do conjunto original.
Conclusão: Falsa.

Passo 5

Afirmação 4: “Existe um espaço vetorial formado por apenas 2 vetores distintos.”
Vamos pensar nisso. Um espaço vetorial precisa conter o vetor zero e ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Se temos apenas dois vetores distintos, digamos v e w , precisamos ver se todos os vetores possíveis podem ser formados a partir deles usando adição e multiplicação por escalar. No entanto, o mínimo para um espaço vetorial é que seja possível gerar todos os vetores através dessas operações, o que geralmente requer um número infinito de combinações, a menos que w seja um múltiplo de v , o que na verdade reduziria o espaço a uma linha, considerando apenas combinações escalares de um único vetor.
Conclusão: Verdadeira, se considerarmos que um espaço vetorial pode ser gerado por um único vetor (o que é um caso especial com apenas dois vetores, onde um é múltiplo do outro).

Resposta

d. 1 e 4

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