Resolva, quando possível, os seguintes sistemas de equações:
cx-2 y+4 z=-1 3 x+5 y-z=10 5 x+y+7 z=8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: x , y e z . A ideia aqui é encontrar valores para essas variáveis que façam todas as três equações serem verdadeiras ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que é uma técnica da álgebra linear para simplificar e encontrar essas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar eliminar uma das variáveis para facilitar o processo. Vou escolher eliminar o x . Para isso, vamos manipular as equações de forma que, ao subtrairmos umas das outras, o x desapareça.

Passo 3

Vamos multiplicar a primeira equação por 3 para alinhar os coeficientes de x nas primeiras duas equações:
3(x - 2y + 4z) = 3(-1) Rightarrow 3x - 6y + 12z = -3
Agora, temos:
3x - 6y + 12z = -3 (Equação 1 modificada) 3x + 5y - z = 10 (Equação 2) 5x + y + 7z = 8 (Equação 3) çãçãçã

Passo 4

Vamos subtrair a Equação 2 da Equação 1 modificada para eliminar o x :
(3x - 6y + 12z) - (3x + 5y - z) = -3 - 10 Rightarrow -11y + 13z = -13
Então, temos uma nova equação:
-11y + 13z = -13 (Equação 4) çã

Passo 5

Agora, vamos eliminar o x usando a Equação 1 original e a Equação 3. Multiplico a Equação 1 por 5:
5(x - 2y + 4z) = 5(-1) Rightarrow 5x - 10y + 20z = -5
Subtraio a Equação 3 dessa nova equação:
(5x - 10y + 20z) - (5x + y + 7z) = -5 - 8 Rightarrow -11y + 13z = -13
Perceba que chegamos na mesma Equação 4, o que significa que nossas equações são dependentes e teremos soluções infinitas baseadas em um parâmetro.

Passo 6

Vamos resolver a Equação 4 para uma das variáveis, por exemplo, y :
-11y + 13z = -13 Rightarrow -11y = -13z -13 Rightarrow y = 13z + 1311 Rightarrow y = 13(z + 1)11

Passo 7

Agora, usamos a expressão de y em termos de z na Equação 1 para encontrar x :
x - 2y + 4z = -1 Rightarrow x = -1 + 2y - 4z
Substituindo y :
x = -1 + 2(13(z + 1)11) - 4z Rightarrow x = -1 + 26(z + 1)11 - 4z Rightarrow x = -1111 + 26z + 2611 - 44z11 Rightarrow x = 15 - 18z11

Passo 8

Por fim, estabelecemos que z é um parâmetro livre, ou seja, pode ser qualquer número real. Vamos chamar z = t , onde t é um número real qualquer.
Então, as soluções do sistema são:
x = 15 - 18t11 y = 13(t + 1)11 z = t

Resposta

As soluções do sistema são todas as triplas (x, y, z) onde:
x = dfrac15 - 18t11 y = dfrac13(t + 1)11 z = t para qualquer real t

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