Considere as seguintes afirmações:
I. Os vetores (1,2,0),(-1,2,1) e (1,6,1) são LI
II. B=\{(2,1,0,0),(0,0,1,-1)\} é base para o subespaço U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x=2 y\right. e \left.z+t=0\right\}.
III. A dimensão de W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x=2 y+z+t\right\} é igual a 2 .
São CORRETAS somente as afirmações:
a. I
b. I e III
c. I, II e III
d. III
e. II e III
f. lell
g. Nenhuma das afirmações está correta
h. II
Passo 1
O enunciado lista três afirmações sobre subespaços e independência linear em espaços vetoriais reais:
I. Em \mathbb{R}^3, os vetores (1,2,0), (-1,2,1) e (1,6,1) são linearmente independentes.
II. Em \mathbb{R}^4, o conjunto
B = \{(2,1,0,0),\,(0,0,1,-1)\}
é base do subespaço
U = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x=2y,\;z+t=0\}.
III. Em \mathbb{R}^4, o subespaço
W = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x=2y+z+t\}
tem dimensão igual a 2.
Vamos verificar cada afirmação.
Passo 2
Verificação da afirmação I:
Testamos se há combinação não trivial
a(1,2,0) + b(-1,2,1) + c(1,6,1) = (0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a - b + c = 0,\\\\ 2a + 2b + 6c = 0,\\\ b + c = 0. \end{cases}
Da última equação b=-c. Substituindo na primeira, a +2c=0\Rightarrow a=-2c. Na segunda:
2(-2c) +2(-c) +6c = -4c -2c +6c =0,
que é sempre satisfeito. Há, portanto, soluções não triviais (por exemplo c=1 dá a=-2,b=-1), logo os vetores são linearmente dependentes.
Conclusão: I é falsa.
Passo 3
Verificação da afirmação II:
O subespaço
U=\{(x,y,z,t)\mid x=2y,\;z+t=0\}
é definido por duas equações lineares em \mathbb{R}^4, portanto tem dimensão 4-2=2.
Os vetores de B são
v_1=(2,1,0,0),\quad v_2=(0,0,1,-1).
Verificamos que cada um satisfaz as condições de U:
v1: 2 = 2\cdot1 e 0+0=0.
v2: 0=2\cdot0 e 1+(-1)=0.
São dois vetores em U, independentes (pois nenhum múltiplo escalar de v1 gera v2) e igualam a dimensão de U. Logo formam base de U.
Conclusão: II é verdadeira.
Passo 4
Verificação da afirmação III:
O subespaço
W=\{(x,y,z,t)\mid x=2y+z+t\}
é definido por UMA única equação linear em \mathbb{R}^4, então sua dimensão é 4-1=3, não 2.
Conclusão: III é falsa.