Considere U=\{(x, y, z) ; x-2 y+2 z=0\}, subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Seja \operatorname{Proj}_{U} v=(a, b, c) a projeção do vetor v=(0,-5,7) sobre U.

Determine o valor de \mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c} :

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x - 2y + 2z = 0\}
e o vetor \mathbf{v} = (0,-5,7). Queremos calcular a projeção ortogonal de \mathbf{v} em U, \operatorname{Proj}_{U}\mathbf{v}=(a,b,c), e então determinar a+b+c. Aqui usaremos a fórmula de projeção ortogonal num espaço com produto interno padrão.

Passo 2

Note que U é o plano de normal \mathbf{n} = (1,-2,2). Em geral, se \mathbf{n} é normal a um subespaço U, então
\operatorname{Proj}_{U}(\mathbf{v}) = \mathbf{v} - \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}}{\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}}\;\mathbf{n}.
Isso vem da decomposição \mathbf{v} = \operatorname{Proj}_{U}(\mathbf{v}) + \operatorname{Proj}_{U^\perp}(\mathbf{v}).

Passo 3

Calculemos o numerador e o denominador do fator escalar:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = 0\cdot 1 + (-5)\cdot(-2) + 7\cdot 2 = 10 + 14 = 24,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n} = 1^2 + (-2)^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9.
Logo o escalar é \displaystyle \alpha = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}}{\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
\operatorname{Proj}_{U}(\mathbf{v}) = (0,-5,7) - \frac{8}{3}\,(1,-2,2) = \Bigl(0-\tfrac{8}{3},\,-5 + \tfrac{16}{3},\,7 - \tfrac{16}{3}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{8}{3},\,\tfrac{1}{3},\,\tfrac{5}{3}\Bigr).

Passo 5

Somando as componentes:
a+b+c = -\tfrac{8}{3} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{5}{3} = \frac{-8 + 1 + 5}{3} = -\frac{2}{3}.

Resposta

-\tfrac{2}{3}

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