Questão 5: Seja T: R^{3} \rightarrow R^{2} tal que T\left(\mathbf{e}_{1}\right)=(1,2) ; T\left(\mathbf{e}_{2}\right)=(0,1) e T\left(\mathbf{e}_{3}\right)=(-1,3), sendo \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} a base canônica de R^{3}.
a) Determine \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}).
b) Ache o núcleo da Transformação, uma de suas bases e sua dimensão.
c) A transformação é injetora?
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2
cuja ação sobre a base canônica \{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\} é
O que vai cair aqui é: a) usar linearidade para obter T(x,y,z); b) resolver T(x,y,z)=(0,0) para achar o núcleo, sua base e dimensão; c) verificar se o núcleo é trivial para concluir sobre injetividade.
Passo 2
Pela linearidade, para qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 temos
\begin{cases} x - z = 0,\\\\ 2x + y + 3z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x = z. Substituindo na segunda:
2z + y + 3z = 0 \;\Longrightarrow\; y + 5z = 0 \;\Longrightarrow\; y = -5z.
Passo 4
Assim todo vetor do núcleo é da forma
(x,y,z) = (z,\,-5z,\,z) = z\,(1,-5,1).
Logo
\ker(T) = \{\,z\,(1,-5,1)\mid z\in\mathbb{R}\}
uma reta em \mathbb{R}^3. Uma base de \ker(T) é \{(1,-5,1)\} e
\dim(\ker(T)) = 1.
Passo 5
Uma transformação linear é injetora se e somente se \ker(T)=\{(0,0,0)\}. Aqui \ker(T) tem dimensão 1, não é trivial. Portanto T não é injetora.
Resposta
a) \displaystyle T(x,y,z) = (\,x - z,\;2x + y + 3z\,).
b) \displaystyle \ker(T)=\{z\,(1,-5,1)\mid z\in\mathbb{R}\}, base \{(1,-5,1)\}, dimensão 1.
c) T não é injetora.