Questão 5: Seja T: R^{3} \rightarrow R^{2} tal que T\left(\mathbf{e}_{1}\right)=(1,2) ; T\left(\mathbf{e}_{2}\right)=(0,1) e T\left(\mathbf{e}_{3}\right)=(-1,3), sendo \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} a base canônica de R^{3}.
a) Determine \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}).
b) Ache o núcleo da Transformação, uma de suas bases e sua dimensão.
c) A transformação é injetora?

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2
cuja ação sobre a base canônica \{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3\} é
T(\mathbf e_1) = (1,2),\quad T(\mathbf e_2) = (0,1),\quad T(\mathbf e_3) = (-1,3).
O que vai cair aqui é: a) usar linearidade para obter T(x,y,z); b) resolver T(x,y,z)=(0,0) para achar o núcleo, sua base e dimensão; c) verificar se o núcleo é trivial para concluir sobre injetividade.

Passo 2

Pela linearidade, para qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 temos
T(x,y,z) = x\,T(\mathbf e_1) + y\,T(\mathbf e_2) + z\,T(\mathbf e_3) = x\,(1,2) + y\,(0,1) + z\,(-1,3).
Somando componente a componente,
T(x,y,z) = \bigl(x - z,\;2x + y + 3z\bigr).

Passo 3

Para encontrar o núcleo, impomos
T(x,y,z) = (0,0),
isto é, o sistema
\begin{cases} x - z = 0,\\\\ 2x + y + 3z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem x = z. Substituindo na segunda:
2z + y + 3z = 0 \;\Longrightarrow\; y + 5z = 0 \;\Longrightarrow\; y = -5z.

Passo 4

Assim todo vetor do núcleo é da forma
(x,y,z) = (z,\,-5z,\,z) = z\,(1,-5,1).
Logo
\ker(T) = \{\,z\,(1,-5,1)\mid z\in\mathbb{R}\}
uma reta em \mathbb{R}^3. Uma base de \ker(T) é \{(1,-5,1)\} e
\dim(\ker(T)) = 1.

Passo 5

Uma transformação linear é injetora se e somente se \ker(T)=\{(0,0,0)\}. Aqui \ker(T) tem dimensão 1, não é trivial. Portanto T não é injetora.

Resposta

a) \displaystyle T(x,y,z) = (\,x - z,\;2x + y + 3z\,).
b) \displaystyle \ker(T)=\{z\,(1,-5,1)\mid z\in\mathbb{R}\}, base \{(1,-5,1)\}, dimensão 1.
c) T não é injetora.

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