Existe um espaço vetorial gerado por 3 (três) vetores cuja dimensão seja 2 (dois)? Justique cuidadosamente a sua resposta.
Solução
Suponha
e
LI. Agora suponha
combinação linear de
e
. Logo,
é LD. Admita
Considere
Conclusão: o espaço gerado por
é o mesmo espaço gerado por
.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe um espaço vetorial que possa ser gerado por três vetores e, ao mesmo tempo, tenha dimensão igual a dois. O conteúdo envolvido é dimensão de espaço vetorial, conjunto gerador e dependência linear.
Passo 2
Relembre que a dimensão de um espaço vetorial
é o número de vetores de qualquer base de
, ou seja, o tamanho de um conjunto maximalmente linearmente independente que gera
. Logo, se
, qualquer família de três vetores em
será necessariamente linearmente dependente.
Passo 3
Suponha que
seja um espaço de dimensão 2 e que
formem uma base, isto é,
é LI e
. Dado qualquer outro vetor
, podemos escrevê-lo como combinação linear de
e
:
para certos escalares
.
Portanto gera
(pois já
gera) e é linearmente dependente, pois
Portanto
é uma combinação não trivial que anula a soma.
Passo 4
Um exemplo concreto é o próprio
com
Aqui
,
é base e
logo
gera
mas é dependente.
Resposta
Sim. Por exemplo, em
a família
gera um espaço de dimensão
, embora seja linearmente dependente.