Existe um espaço vetorial gerado por 3 (três) vetores cuja dimensão seja 2 (dois)? Justique cuidadosamente a sua resposta.

Solução

Suponha u e v LI. Agora suponha w combinação linear de u e v. Logo, \{u, v, w\} é LD. Admita
w=\alpha_{1} u+\alpha_{2} v
Considere
\begin{aligned} \beta_{1} u+\beta_{2} v+\beta_{3} w & =\beta_{1} u+\beta_{2} v+\beta_{3}\left(\alpha_{1} u+\alpha_{2} v\right) \\\ & =\left(\beta_{1}+\beta_{3} \alpha_{1}\right) u+\left(\beta_{2}+\beta_{3} \alpha_{2}\right) v \end{aligned}
Conclusão: o espaço gerado por \{u, v, w\} é o mesmo espaço gerado por \{u, v\}.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um espaço vetorial que possa ser gerado por três vetores e, ao mesmo tempo, tenha dimensão igual a dois. O conteúdo envolvido é dimensão de espaço vetorial, conjunto gerador e dependência linear.

Passo 2

Relembre que a dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de qualquer base de V, ou seja, o tamanho de um conjunto maximalmente linearmente independente que gera V. Logo, se \dim V=2, qualquer família de três vetores em V será necessariamente linearmente dependente.

Passo 3

Suponha que V seja um espaço de dimensão 2 e que u,v\in V formem uma base, isto é, \{u,v\} é LI e \Span\{u,v\}=V. Dado qualquer outro vetor w\in V, podemos escrevê-lo como combinação linear de u e v:
w = \alpha_{1} u + \alpha_{2} v
para certos escalares \alpha_{1},\alpha_{2}.
Portanto \{u,v,w\} gera V (pois já \{u,v\} gera) e é linearmente dependente, pois
w - \alpha_{1}u - \alpha_{2}v = 0
é uma combinação não trivial que anula a soma.

Passo 4

Um exemplo concreto é o próprio \mathbb{R}^2 com
u=(1,0),\quad v=(0,1),\quad w=(1,1).
Aqui \dim \mathbb{R}^2=2, \{u,v\} é base e
(1,1) \;=\;1\cdot(1,0)+1\cdot(0,1),
logo \{u,v,w\} gera \mathbb{R}^2 mas é dependente.

Resposta

Sim. Por exemplo, em \mathbb{R}^2 a família \{(1,0),(0,1),(1,1)\} gera um espaço de dimensão 2, embora seja linearmente dependente.

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