- Considere as seguintes asserções:
I) Toda matriz quadrada não-nula possui inversa;
II) Se
possui inversa, então
;
III) Se
e
possuem inversa, então
possui inversa.
Podemos afirmar que:
a) somente I) é verdadeira;
b) somente II) é verdadeira;
c) somente II) e III) são verdadeiras;
d) todas são verdadeiras;
e) todas são falsas.
I) Toda matriz quadrada não-nula possui inversa;
II) Se
III) Se
a) somente I) é verdadeira;
b) somente II) é verdadeira;
c) somente II) e III) são verdadeiras;
d) todas são verdadeiras;
e) todas são falsas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
O enunciado apresenta três asserções:
I) Toda matriz quadrada não-nula possui inversa.
II) Sepossui inversa, então .
III) See possuem inversa, então possui inversa. -
A pergunta: entre as alternativas dadas (a)–(e), qual descreve corretamente quais asserções são verdadeiras?
Passo 2
Explicando o que significa uma matriz ser invertível (isso vai ajudar a avaliar I e III).
- Definição: uma matriz quadrada
é invertível (ou não singular) se existir outra matriz quadrada tal que
onde
é a matriz identidade de mesma ordem.
- Critério prático (para matrizes com coeficientes numéricos): uma condição equivalente é que o determinante de
seja diferente de zero:
Explico: o determinante é um número associado à matriz; quando vale zero, as colunas (ou linhas) são linearmente dependentes e a matriz não tem inversa.
Passo 3
Analisando a asserção I: “Toda matriz quadrada não-nula possui inversa.”
-
Interpretação: “não-nula” significa que a matriz não é a matriz zero (ou seja, há pelo menos um elemento diferente de zero). A afirmação diz que qualquer matriz quadrada que não seja a matriz nula teria inversa.
-
Contraexemplo simples (2×2): considere
Calcule o determinante usando a fórmula para
:
Como
,
não é invertível, mesmo sendo uma matriz não-nula (tem elementos diferentes de zero). Logo a asserção I é falsa.
- Observação prática para prova: não confunda “não-nula” com “invertível” — muitas matrizes não-nulas são singulares.]
Passo 4
Analisando a asserção II: “Se
possui inversa, então
.”
-
Vou mostrar que isso é verdadeiro, passo a passo, e explicar por que funciona.
-
Propriedade usada: a transposta do produto de matrizes satisfaz
Isto é fácil de entender: ao transpor o produto, as linhas/colunas se trocam de ordem, por isso a ordem dos fatores inverte.
- Começando da identidade
. Transpondo ambos os lados:
Pelo resultado acima,
- Também partindo de
e transpondo obtemos
- Ter as duas igualdades
significa exatamente que
é a inversa de
. Pela unicidade da inversa, concluímos
-
Conclusão: a asserção II é verdadeira.
-
Dica para prova: essa é uma propriedade padrão; em questões é comum pedir uma demonstração curta exatamente com a transposição de
.
Passo 5
Analisando a asserção III: “Se
e
possuem inversa, então
possui inversa.”
-
Intuição: soma de dois invertíveis nem sempre é invertível. Para refutar uma afirmação universal, basta um contraexemplo.
-
Contraexemplo simples: escolha
(identidade) e . Ambas são invertíveis: e . Mas
a matriz zero, que não é invertível (determinante zero). Logo
não possui inversa nesse caso. Assim a afirmação III é falsa.
- Observação: existem casos em que
é invertível (por exemplo, se é o pior caso). Mas não é verdade em geral, portanto a asserção universal é falsa.
Passo 6
Resumo final do que decidimos sobre cada asserção:
- I é falsa (existe matriz não-nula singular).
- II é verdadeira (mostramos a prova que
). - III é falsa (contraexemplo
, ).
Portanto, apenas a asserção II é verdadeira.
Resposta
b)