1. Considere as seguintes asserções:
    I) Toda matriz quadrada não-nula possui inversa;
    II) Se A possui inversa, então \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t};
    III) Se A e B possuem inversa, então A+B possui inversa.
Podemos afirmar que:
a) somente I) é verdadeira;
b) somente II) é verdadeira;
c) somente II) e III) são verdadeiras;
d) todas são verdadeiras;
e) todas são falsas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado apresenta três asserções:
    I) Toda matriz quadrada não-nula possui inversa.
    II) Se A possui inversa, então \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}.
    III) Se A e B possuem inversa, então A+B possui inversa.
  • A pergunta: entre as alternativas dadas (a)–(e), qual descreve corretamente quais asserções são verdadeiras?

Passo 2

Explicando o que significa uma matriz ser invertível (isso vai ajudar a avaliar I e III).
  • Definição: uma matriz quadrada A é invertível (ou não singular) se existir outra matriz quadrada A^{-1} tal que
A A^{-1} = A^{-1} A = I,
onde I é a matriz identidade de mesma ordem.
  • Critério prático (para matrizes com coeficientes numéricos): uma condição equivalente é que o determinante de A seja diferente de zero:
\det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A \text{ é invertível}.éí
Explico: o determinante é um número associado à matriz; quando vale zero, as colunas (ou linhas) são linearmente dependentes e a matriz não tem inversa.

Passo 3

Analisando a asserção I: “Toda matriz quadrada não-nula possui inversa.”
  • Interpretação: “não-nula” significa que a matriz não é a matriz zero (ou seja, há pelo menos um elemento diferente de zero). A afirmação diz que qualquer matriz quadrada que não seja a matriz nula teria inversa.
  • Contraexemplo simples (2×2): considere
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Calcule o determinante usando a fórmula para 2\times2:
\det(A)=1\cdot4 - 2\cdot2 = 4-4=0.
Como \det(A)=0, A não é invertível, mesmo sendo uma matriz não-nula (tem elementos diferentes de zero). Logo a asserção I é falsa.
  • Observação prática para prova: não confunda “não-nula” com “invertível” — muitas matrizes não-nulas são singulares.]

Passo 4

Analisando a asserção II: “Se A possui inversa, então \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}.”
  • Vou mostrar que isso é verdadeiro, passo a passo, e explicar por que funciona.
  • Propriedade usada: a transposta do produto de matrizes satisfaz
(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.
Isto é fácil de entender: ao transpor o produto, as linhas/colunas se trocam de ordem, por isso a ordem dos fatores inverte.
  • Começando da identidade A A^{-1}=I. Transpondo ambos os lados:
(A A^{-1})^{t} = I^{t}.
Pelo resultado acima,
(A^{-1})^{t} A^{t} = I.
  • Também partindo de A^{-1}A=I e transpondo obtemos
A^{t} (A^{-1})^{t} = I.
  • Ter as duas igualdades
(A^{-1})^{t} A^{t} = I \quad\text{e}\quad A^{t} (A^{-1})^{t} = I
significa exatamente que (A^{-1})^{t} é a inversa de A^{t}. Pela unicidade da inversa, concluímos
\left(A^{t}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{t}.
  • Conclusão: a asserção II é verdadeira.
  • Dica para prova: essa é uma propriedade padrão; em questões é comum pedir uma demonstração curta exatamente com a transposição de A A^{-1}=I.

Passo 5

Analisando a asserção III: “Se A e B possuem inversa, então A+B possui inversa.”
  • Intuição: soma de dois invertíveis nem sempre é invertível. Para refutar uma afirmação universal, basta um contraexemplo.
  • Contraexemplo simples: escolha A=I (identidade) e B=-I. Ambas são invertíveis: A^{-1}=I e B^{-1}=-I. Mas
A+B = I + (-I) = 0,
a matriz zero, que não é invertível (determinante zero). Logo A+B não possui inversa nesse caso. Assim a afirmação III é falsa.
  • Observação: existem casos em que A+B é invertível (por exemplo, se B=-A é o pior caso). Mas não é verdade em geral, portanto a asserção universal é falsa.

Passo 6

Resumo final do que decidimos sobre cada asserção:
  • I é falsa (existe matriz não-nula singular).
  • II é verdadeira (mostramos a prova que \left(A^{t}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{t}).
  • III é falsa (contraexemplo A=I, B=-I).
Portanto, apenas a asserção II é verdadeira.

Resposta

b)

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