Considere as seguintes bases de R^3 :
alpha=(10,10,3),(3,-1,-1),(4,8,1) e beta=(1,1,0),(2,1,1),(-1,0,1)
(b) Determine [I]beta^alpha

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3:
alpha = ,a1=(10,10,3),;a2=(3,-1,-1),;a3=(4,8,1), beta = ,b1=(1,1,0),;b2=(2,1,1),;b3=(-1,0,1)
Queremos a matriz de identidade IcolonR^3toR^3 que leva coordenadas em alpha para coordenadas em beta, ou seja [I]beta^alpha.

Passo 2

Por definição, a coluna j de [I]beta^alpha é o vetor de coordenadas de aj na base beta. Para cada aj escrevemos
aj = c1b1 + c2b2 + c3b3
e resolvemos o sistema para (c1,c2,c3). Em componentes isso dá, para um a=(x,y,z), o sistema
c1 + 2c2 - c3 = x, c1 + c2 = y, !;;c2 + c3 = z

Passo 3

Para
Da segunda equação . Substituindo na primeira:
Logo a primeira coluna é .

Passo 4

Para
De modo análogo obtemos
Então a segunda coluna é (\bigl(-\tfrac52,\tfrac32,-\tfrac52\bigr)].

Passo 5

Para
Resolvendo vem
A terceira coluna é (\bigl(\tfrac{19}{2},-\tfrac32,\tfrac52\bigr)].

Passo 6

Reunindo as colunas,
[I]beta^alpha = 172 & -52 & 192[6pt] 32 & 32 & -32[6pt] 32 & -52 & 52 ]

Resposta

[I]beta^alpha = 172 & -52 & 192 32 & 32 & -32 32 & -52 & 52

Exercícios relacionados