Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
(a) T: R^2 longrightarrow R^2, com T(x, y)=(y, x).

Passo 1

O enunciado apresenta a aplicação Tcolon R^2to R^2 definida por
T(x,y) = (y,x)
O conteúdo é teste de linearidade: precisamos verificar aditividade e homogeneidade para concluir se T é transformação linear.

Passo 2

Recordando a definição, T é linear se, para quaisquer vetores u,vinR^2 e escalar c, valem
1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
2. T(c,u)=c,T(u) (homogeneidade)

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
T(u+v)=Tl((x1+x2,;y1+y2)r) = (y1+y2,;x1+x2)
Por outro lado,
T(u)+T(v)=(y1,x1)+(y2,x2) = (y1+y2,;x1+x2)
Logo T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Para escalar c e vetor (x,y) temos
Tl(c,(x,y)r) = T((c,x,c,y)) = (c,y,;c,x) = c,(y,x) = c,T(x,y)
Portanto T(c,u)=c,T(u).

Passo 5

Como ambas as propriedades de linearidade estão satisfeitas, concluímos que T é uma transformação linear. Alternativamente, nota-se que sua matriz é
A = 0 & 1 1 & 0,
o que confirma a natureza linear de T.

Resposta

A aplicação T(x,y)=(y,x) é transformação linear.

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