Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
(a)
, com
.
(a)
Passo 1
O enunciado apresenta a aplicação
definida por
O conteúdo é teste de linearidade: precisamos verificar aditividade e homogeneidade para concluir se
é transformação linear.
Passo 2
Recordando a definição,
é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
, valem
.
(aditividade)
.
(homogeneidade)
Passo 3
Verificação da aditividade. Seja
e
. Então
Por outro lado,
Logo
.
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Para escalar
e vetor
temos
Portanto
.
Passo 5
Como ambas as propriedades de linearidade estão satisfeitas, concluímos que
é uma transformação linear. Alternativamente, nota-se que sua matriz é
o que confirma a natureza linear de
T .
Resposta
A aplicação
T(x,y)=(y,x) é transformação linear.