Sejam v1=(1,2,3), v2=(1,0,2) vetores de R^3. Considere os subespaços de R^3
U=(a1, a2, 0) mid a1, a2 in R e W=[v1, v2]
(iii) U+W=R^3 ?

Passo 1

O enunciado define em R^3 os subespaços
U=(a1,a2,0)mid a1,a2inR e
W=l[v1,v2r] com v1=(1,2,3) e v2=(1,0,2).
Queremos verificar se U+W=R^3, isto é, se todo vetor (x,y,z) pode ser escrito como soma de um vetor em U e um em W.

Passo 2

Seja um vetor arbitrário (x,y,z)inR^3.
Tomemos
u=(a1,a2,0)inU,
w=s,v1+t,v2=s(1,2,3)+t(1,0,2)inW
Então
u+w=(a1+s+t,;a2+2s,;0+3s+2t)

Passo 3

Para que
Aqui .

Passo 4

Observe que a terceira equação
3s + 2t = z
é uma única equação em s,t, portanto sempre admite infinitas soluções reais. Por exemplo, podemos escolher
s=0, t=z2
Com isso, da segunda equação obtemos
a2 = y - 2s = y,
e da primeira
a1 = x - s - t = x - z2
Logo, para qualquer (x,y,z) encontramos a1,a2,s,t que fazem u+w=(x,y,z).

Passo 5

Como para todo (x,y,z)inR^3 existe decomposição
(x,y,z)=u+w com uinU e winW, segue que
U+W=R^3.

Resposta

Sim, U+W=R^3.

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