Sejam
vetores de
. Considere os subespaços de
(iii)
?
Passo 1
O enunciado define em
os subespaços
e
com
e
.
Queremos verificar se , isto é, se todo vetor
pode ser escrito como soma de um vetor em
e um em
.
Queremos verificar se
Passo 2
Seja um vetor arbitrário
.
Tomemos
Tomemos
Então
Passo 3
Para que
Aqui .
Passo 4
Observe que a terceira equação
é uma única equação em
, portanto sempre admite infinitas soluções reais. Por exemplo, podemos escolher
Com isso, da segunda equação obtemos
e da primeira
Logo, para qualquer
encontramos
que fazem
.
Passo 5
Como para todo
existe decomposição
com
e
, segue que
.
Resposta
Sim,
.