Verifique se os vetores abaixo são ou não combinações lineares de v=(12,14,1) e w= (0,2,-3).
(a) (48,50,-8) (b) (1, 2512, 1812) (c) (12,0,-20)

Passo 1

Dados os vetores v=(12,14,1) e w=(0,2,-3), queremos verificar para cada vetor
u=(u1,u2,u3)
se existem escalares alpha,beta tais que
alpha,v + beta,w = u
O conteúdo envolve combinação linear em R^3 e resolução de um sistema de três equações com duas incógnitas (condição de compatibilidade).

Passo 2

Escrevendo alpha,v + beta,w = (alphacdot12,;alphacdot14+ betacdot2,;alphacdot1+betacdot(-3)) e igualando a (u1,u2,u3) obtemos o sistema
12alpha = u1, 14alpha + 2beta = u2, alpha - 3beta = u3
Da primeira equação segue
alpha = u112,
da segunda surge
beta = u2 - 14alpha2,
e esses valores devem satisfazer ainda a terceira, gerando a condição de compatibilidade
u112 -3cdotu2 - 14u1122 = u3
Se essa igualdade não ocorrer, não há combinação linear.

Passo 3

(a) Para u=(48,50,-8) temos
alpha = 4812 = 4, beta = 50 - 14cdot42 = 50 -562 = -3
Na terceira equação testaríamos
alpha -3beta = 4 -3cdot(-3) = 4 +9 =13
que não coincide com u3=-8. Logo não é combinação linear.

Passo 4

(b) Para u=l(1,tfrac2512,tfrac1812r) temos
alpha = 112, beta = tfrac2512 -14cdot1122 = tfrac25-14122 = tfrac11122 = 1124
Na terceira equação daria
alpha -3beta = 112 -3cdot1124 = 112 - 3324 = -3124
que não coincide com tfrac1812=tfrac32. Logo não é combinação linear.

Passo 5

(c) Para u=(12,0,-20) temos
alpha = 1212 = 1, beta = 0 - 14cdot12 = -7
Na terceira equação daria
alpha -3beta = 1 -3cdot(-7) = 1 +21 =22
que não coincide com u3=-20. Logo não é combinação linear.

Resposta

(a) Não é combinação linear.
(b) Não é combinação linear.
(c) Não é combinação linear.

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