Seja a um elemento de um grupo multiplicativo G. Prove que C(a)=x in G mid x^-1 a x=a é um subgrupo de G que contém a. Este grupo chama-se centralizador de a em G.

Passo 1

O enunciado define o centralizador de ain G como
C(a)=,xin Gmid x^-1ax=a
Queremos provar que C(a) é um subgrupo de G e que ain C(a). Para isso usaremos o critério de subgrupo por identidade, fechamento e inverso.

Passo 2

Mostramos que a identidade e de G está em C(a). De fato,
e^-1 a,e = e,a,e = a,
logo ein C(a).

Passo 3

Verificamos o fechamento sob o produto. Se x,yin C(a), então
(xy)^-1 a,(xy) = y^-1x^-1a,x,y = y^-1a,y = a,
pois x^-1ax=a e em seguida y^-1ay=a. Portanto xyin C(a).

Passo 4

Mostramos que C(a) é fechado sob inversos. Se xin C(a), então
(x^-1)^-1 a,(x^-1) = x,a,x^-1 = a,
pois de x^-1ax=a segue x,a = a,x e, ao multiplicar à direita por x^-1, obtemos x,a,x^-1=a. Logo x^-1in C(a).

Passo 5

Por fim, verificamos que a pertence a C(a). Basta observar
a^-1 a,a = (a^-1a),a = e,a = a,
então ain C(a).

Resposta

C(a) é subgrupo de G e contém o elemento a.

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