Seja
um elemento de um grupo multiplicativo
. Prove que
é um subgrupo de
que contém
. Este grupo chama-se centralizador de
em
.
Passo 1
O enunciado define o centralizador de
como
Queremos provar que
é um subgrupo de
e que
. Para isso usaremos o critério de subgrupo por identidade, fechamento e inverso.
Passo 2
Mostramos que a identidade
de
está em
. De fato,
logo
.
Passo 3
Verificamos o fechamento sob o produto. Se
, então
pois
e em seguida
. Portanto
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob inversos. Se
, então
pois de
segue
e, ao multiplicar à direita por
, obtemos
. Logo
.
Passo 5
Por fim, verificamos que
pertence a
. Basta observar
então
.