Considere os seguintes campos arbitrários. Determine qual deles pode representar um campo eletrostático ou um campo magnetostático no espaço livre.
A=y cos (a x) ax+(y+e^-x) az;

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
A=ycos(a x),ax+l(y+e^-xr),az
e pede para verificar se ele pode ser
– um campo eletrostático em espaço livre (isto é, conservativo, com nablatimesA=0), ou
– um campo magnetostático em espaço livre (isto é, solenoidal, com nablacdotA=0).

Passo 2

Para um campo eletrostático E em região sem campos variáveis no tempo temos
nabla times E = 0
Logo, se A fosse eletrostático, precisaríamos de
nablatimesA=0

Passo 3

Para um campo magnetostático B em espaço livre (sem monopólos) vale
nabla cdot B = 0
Portanto, se A fosse magnetostático, precisaríamos de
nablacdotA=0

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de A. Em coordenadas cartesianas,
A=(Ax,,Ay,,Az) =(ycos(ax),,0,,y+e^-x)
Logo
nablatimesA = ax & ay & az partialx & partialy & partialz ycos(ax) & 0 & y+e^-x =axl(partialy Az-partialzAyr) -ayl(partialxAz-partialzAxr) +azl(partialxAy-partialyAxr)
Calculando cada termo:
partialyAz=1, partialzAy=0,
partialxAz=-e^-x, partialzAx=0,
partialxAy=0, partialyAx=cos(ax).
Logo
nablatimesA =ax(1-0) -ayl(-e^-x-0r) +az(0-cos(ax)) =ax+!e^-x,ay-cos(ax),azneq0

Passo 5

Agora calculamos a divergência de A:
nablacdotA =partial Axpartial x +partial Aypartial y +partial Azpartial z =partialpartial xl(ycos(ax)r)+0+0 =-a,ysin(ax)neq 0 (em >=ral)

Resposta

Como nablatimesAneq0, A não pode ser um campo eletrostático, e como nablacdotAneq0, também não pode ser um campo magnetostático em espaço livre.

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