Considere os seguintes campos arbitrários. Determine qual deles pode representar um campo eletrostático ou um campo magnetostático no espaço livre.
C=r^2 sen(theta) aphi;

Passo 1

O enunciado dá o campo em coordenadas esféricas
vec C = r^2,sin(theta),hat aphi
e pede para verificar se ele satisfaz as condições de um campo eletrostático ou de um campo magnetostático em espaço livre.
Em espaço livre (sem cargas nem correntes) as equações de Maxwell estáticas impõem
  1. Para um campo eletrostático vec E: nablatimesvec E = vec 0, nablacdotvec E=0
  2. Para um campo magnetostático vec B: nablacdotvec B=0, nablatimesvec B=vec 0

Passo 2

Calcular nablacdotvec C em coordenadas esféricas, cuja fórmula é
nablacdotvec A =1r^2partialpartial rl(r^2Arr) +1rsinthetapartialpartialthetal(sintheta,Athetar) +1rsinthetapartial Aphipartialphi
Aqui Ar=0, Atheta=0 e Aphi=r^2sintheta, sem dependência em phi.
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nablacdotvec C =1rsinthetapartialpartialphil(r^2sinthetar) =0

Passo 3

Calcular nablatimesvec C. Em esféricas, os componentes são
(nablatimesvec A)r =1rsinthetapartialpartialthetal(sintheta,Aphir) -1rsinthetapartial Athetapartialphi,
(nablatimesvec A)theta =1rpartialpartial rl(r,Aphir) -1rsinthetapartial Arpartialphi,
(nablatimesvec A)phi =1rpartialpartial rl(r,Athetar) -1rpartial Arpartialtheta
Para vec C temos Ar=Atheta=0, Aphi=r^2sintheta.
Então
(nablatimesvec C)r =1rsinthetapartialpartialthetal(r^2sin^2thetar) =1rsinthetal(2r^2sinthetacosthetar) =2rcostheta,
(nablatimesvec C)theta =1rpartialpartial rl(r^3sinthetar) =1rl(3r^2sinthetar) =3rsintheta,
(nablatimesvec C)phi=0
Portanto
nablatimesvec C =2rcostheta,hat ar+3rsintheta,hat athetaneqvec 0

Passo 4

Como nablacdotvec C=0 mas nablatimesvec Cneq0, concluímos:
  • Não pode ser campo eletrostático em espaço livre, pois exigiria nablatimesvec E=0.
  • Não pode ser campo magnetostático em espaço livre (sem correntes), pois exigiria nablatimesvec B=0.

Resposta

O campo vec C não pode representar nem um campo eletrostático nem um campo magnetostático no espaço livre.

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