Considere os seguintes campos arbitrários. Determine qual deles pode representar um campo eletrostático ou um campo magnetostático no espaço livre.
B=20rho arho

Passo 1

Temos o campo vetorial em coordenadas cilíndricas
B = 20rho,arho
e queremos ver se ele satisfaz as equações de Maxwell estáticas em espaço livre. Para
– um campo eletrostático E em região livre de carga vale
nablacdotE=0, nablatimesE=0
– um campo magnetostático B em região livre de correntes vale
nablacdotB=0, nablatimesB=0
Basta, portanto, calcular nablacdotB e nablatimesB.

Passo 2

Calcular o divergente em coordenadas cilíndricas. Se A=Arho,vec arho+Aphi,vec aphi+Az,vec az,
nablacdotvec A =1rhopartial(rho Arho)partialrho +1rhopartial Aphipartialphi +partial Azpartial z
Aqui Arho=20/rho, Aphi=0, Az=0.

Passo 3

Aplicando,
rho Arho=rhocdot20rho=20 Longrightarrow partial(rho Arho)partialrho=0,
e as outras derivadas também são nulas. Logo
nablacdotB=0

Passo 4

Calcular o rotacional em coordenadas cilíndricas. As componentes são
(nablatimesvec A)rho =1rhol[partial Azpartialphi-partial(rho Aphi)partial zr],
(nablatimesvec A)phi =partial Arhopartial z-partial Azpartialrho,
(nablatimesvec A)z =1rhol[partial(rho Aphi)partialrho-partial Arhopartialphir]
Aqui Aphi=Az=0 e Arho=20/rho independe de phi,z.

Passo 5

Todas as derivadas envolvidas no rotacional são zero, logo
nablatimesB=0

Passo 6

Concluímos que o campo satisfaz
nablacdotB=0, nablatimesB=0,
isto é, as equações de Maxwell estáticas em espaço livre tanto para um campo elétrico quanto para um campo magnético.

Resposta

Esse campo pode representar tanto um campo eletrostático quanto um campo magnetostático em região livre (sem cargas e sem correntes).

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