Considere os seguintes conjuntos numéricos:
Com base nesses conjuntos, determine:
a)
.
b)
.
c) 0 conjunto complementar de
no conjunto dos números reais.
d)
conjunto solução da inequação
, expressando-o na forma de um intervalo e comparando com os conjuntos
e
.
a)
b)
c) 0 conjunto complementar de
d)
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três conjuntos numéricos:
-
-
-
(isso significa que inclui -1 e vai até 3, mas sem incluir o 3)
A matéria envolvida aqui são os conjuntos numéricos e as operações que podemos fazer entre eles, como interseção (
), união (
) e complemento. A gente vai precisar lembrar como essas operações funcionam para resolver os itens de a) a d).
Passo 2
a)
A interseção de conjuntos significa encontrar os números que estão presentes em todos os conjuntos ao mesmo tempo. Vamos fazer isso passo a passo:
-
Primeiro, encontramos a interseção de
e : -
-
- A parte que eles têm em comum é de 0 até 5, então
-
-
Agora, vamos encontrar a interseção desse resultado com
: -
- A interseção de
com é de 0 até 3, mas como não inclui o 3, teremos
-
Passo 3
b)
Aqui temos a união de
com a diferença entre
e
. Vamos entender cada parte:
-
Primeiro, calculamos
, que significa os elementos que estão em mas não em : -
-
- Então,
porque os números de 0 até 3 estão em e são removidos de .
-
-
Agora, fazemos a união de
com : -
-
- A união desses dois conjuntos é todos os números de -2 até 7, ou seja,
-
Passo 4
c) 0 conjunto complementar de
no conjunto dos números reais
Parece que há um erro de digitação aí, mas vou interpretar como querer o complemento de
no conjunto dos números reais. O complemento de um conjunto
inclui todos os números que não estão em
.
-
Primeiro, encontramos
: -
-
- A união é de -2 até 7, ou seja,
-
-
Agora, o complemento de
no conjunto dos números reais é tudo que está antes de -2 e depois de 7: - Em notação de intervalo:
- Em notação de intervalo:
Passo 5
d)
conjunto solução da inequação
, expressando-o na forma de um intervalo e comparando com os conjuntos
e
Vamos resolver a inequação
:
-
Primeiro, isolamos
: -
- Dividindo ambos os lados por -4 (lembre que dividir por um número negativo inverte o sinal da desigualdade):
-
-
-
Então, o conjunto solução
é todos os números maiores ou iguais a 0. Em forma de intervalo: -
-
Comparando com os conjuntos
e : -
inclui números de 0 até 5 que também estão em . -
está completamente dentro de . -
inclui parte de , ou seja, de 0 até 3 (sem incluir 3).
-
Resposta
a)
b)
c) O complemento de
é
d) O conjunto solução
, que inclui completamente
, parte de
e parte de
.