Considere os seguintes conjuntos numéricos:
A=[-2,5]
B=[0,7]
C=[-1,3[
Com base nesses conjuntos, determine:
a) A cap B cap C.
b) A cup(B-C).
c) 0 conjunto complementar de (A cup B) no conjunto dos números reais.
d) O conjunto solução da inequação -4 x <= 0, expressando-o na forma de um intervalo e comparando com os conjuntos A, B e C.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três conjuntos numéricos:
  • A = [-2, 5]
  • B = [0, 7]
  • C = [-1, 3[ (isso significa que inclui -1 e vai até 3, mas sem incluir o 3)
A matéria envolvida aqui são os conjuntos numéricos e as operações que podemos fazer entre eles, como interseção ( cap ), união ( cup ) e complemento. A gente vai precisar lembrar como essas operações funcionam para resolver os itens de a) a d).

Passo 2

a) A cap B cap C
A interseção de conjuntos significa encontrar os números que estão presentes em todos os conjuntos ao mesmo tempo. Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Primeiro, encontramos a interseção de A e B :
    • A = [-2, 5]
    • B = [0, 7]
    • A parte que eles têm em comum é de 0 até 5, então A cap B = [0, 5]
  2. Agora, vamos encontrar a interseção desse resultado com C :
    • C = [-1, 3[
    • A interseção de [0, 5] com [-1, 3[ é de 0 até 3, mas como C não inclui o 3, teremos [0, 3[

Passo 3

b) A cup (B - C)
Aqui temos a união de A com a diferença entre B e C . Vamos entender cada parte:
  1. Primeiro, calculamos B - C , que significa os elementos que estão em B mas não em C :
    • B = [0, 7]
    • C = [-1, 3[
    • Então, B - C = [3, 7] porque os números de 0 até 3 estão em C e são removidos de B .
  2. Agora, fazemos a união de A com B - C :
    • A = [-2, 5]
    • B - C = [3, 7]
    • A união desses dois conjuntos é todos os números de -2 até 7, ou seja, A cup (B - C) = [-2, 7]

Passo 4

c) 0 conjunto complementar de (A cup B) no conjunto dos números reais
Parece que há um erro de digitação aí, mas vou interpretar como querer o complemento de A cup B no conjunto dos números reais. O complemento de um conjunto D inclui todos os números que não estão em D .
  1. Primeiro, encontramos A cup B :
    • A = [-2, 5]
    • B = [0, 7]
    • A união é de -2 até 7, ou seja, A cup B = [-2, 7]
  2. Agora, o complemento de A cup B no conjunto dos números reais é tudo que está antes de -2 e depois de 7:
    • Em notação de intervalo: (-infty, -2[ cup ]7, +infty)

Passo 5

d) O conjunto solução da inequação -4x <= 0 , expressando-o na forma de um intervalo e comparando com os conjuntos A, B e C
Vamos resolver a inequação -4x <= 0 :
  1. Primeiro, isolamos x :
    • -4x <= 0
    • Dividindo ambos os lados por -4 (lembre que dividir por um número negativo inverte o sinal da desigualdade):
      • x >= 0
  2. Então, o conjunto solução O é todos os números maiores ou iguais a 0. Em forma de intervalo:
    • O = [0, +infty)
  3. Comparando com os conjuntos A, B e C :
    • A = [-2, 5] inclui números de 0 até 5 que também estão em O .
    • B = [0, 7] está completamente dentro de O .
    • C = [-1, 3[ inclui parte de O , ou seja, de 0 até 3 (sem incluir 3).

Resposta

a) A cap B cap C = [0, 3[
b) A cup (B - C) = [-2, 7]
c) O complemento de A cup B é (-infty, -2[ cup ]7, +infty)
d) O conjunto solução O = [0, +infty) , que inclui completamente B , parte de A e parte de C .

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