Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
lx^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0 y(1)=5, y^prime(1)=3

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^2y''-3x,y'+4y=0
com condições iniciais y(1)=5 e y'(1)=3. Para resolver, vamos usar a tentativa clássica de solução do tipo
y(x)=x^m

Passo 2

Se y=x^m, então
y'=m,x^m-1, y''=m(m-1)x^m-2
Substituindo na equação dada:
x^2l[m(m-1)x^m-2r]-3xl[mx^m-1r]+4x^m =l[m(m-1)-3m+4r]x^m=0
Como x^mneq0, a parte entre colchetes é a equação característica.

Passo 3

A equação característica é
m(m-1)-3m+4=0 Longrightarrow m^2-4m+4=0 Longrightarrow (m-2)^2=0
Temos raiz dupla m=2.

Passo 4

Para raiz dupla numa equação de Euler–Cauchy, a solução geral é
y(x)=C1x^2+C2,x^2ln x
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C1 e C2.

Passo 5

Usando y(1)=5:
y(1)=C1cdot1^2+C2cdot1^2ln1 =C1+C2cdot0=C1=5
Logo C1=5.

Passo 6

Calculamos a derivada geral:
y'(x)=2C1x + C2l(2xln x + xr)
Em x=1 isso vira
y'(1)=2C1+C2(0+1)=2cdot5+C2=10+C2=3 ;Longrightarrow; C2=3-10=-7

Resposta

y(x)=5x^2-7x^2ln x

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