Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de Euler–Cauchy
com condições iniciais
e
. Para resolver, vamos usar a tentativa clássica de solução do tipo
Passo 2
Se
, então
Substituindo na equação dada:
Como
, a parte entre colchetes é a equação característica.
Passo 3
A equação característica é
Temos raiz dupla
.
Passo 4
Para raiz dupla numa equação de Euler–Cauchy, a solução geral é
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 5
Usando
:
Logo
.
Passo 6
Calculamos a derivada geral:
Em
isso vira