Resolva cada equaão diferencial pelo método da variação de parâmetros.
ly^prime prime+2 y^prime-8 y=2 e^-2 x-e^-x y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n y’’ + 2y’ – 8y = 2e^{–2x} – e^{–x}, com y(0)=1 e y’(0)=0, usando variação de parâmetros.

Passo 2

Começamos encontrando a solução homogênea. A equação característica é \n\n\n\n\n\n r^2 + 2r – 8 = 0 \n\n cujas raízes são r = 2 e r = –4. Logo temos duas soluções fundamentais: \n\n\n\n y_1(x) = e^{2x}, \n\n y_2(x) = e^{–4x}. \n\n

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros escrevemos a particular na forma \n\n y_p = u_1(x)e^{2x} + u_2(x)e^{–4x} \n\n e impomos \n\n u_1’ e^{2x} + u_2’ e^{–4x} = 0, \n u_1’ (2e^{2x}) + u_2’ (–4e^{–4x}) = 2e^{–2x} – e^{–x}. \n\n O Wronskiano vale \n\n W = e^2x & e^4x 2e^2x & 4e^4x = –6e^{–2x}.

Passo 4

Resolvendo o sistema para u_1’ e u_2’ temos \n\n u_1’ = –\frac{e{–4x}(2e{–2x} – e^{–x})}{W} = \tfrac{1}{3}e^{–4x} – \tfrac{1}{6}e^{–3x}, \n u_2’ = \frac{e{2x}(2e{–2x} – e^{–x})}{W} = \frac{e^{3x}}{6} – \frac{e^{2x}}{3}.

Passo 5

Integramos para achar u_1 e u_2 (constantes de integração absorvidas pela homogênea): \n\n u_1(x) = –\tfrac{1}{12}e^{–4x} + \tfrac{1}{18}e^{–3x}, \n u_2(x) = \tfrac{1}{18}e^{3x} – \tfrac{1}{6}e^{2x}. \n\n Então a solução particular fica \n\n y_p = u_1e^{2x} + u_2e^{–4x} = –\tfrac{1}{4}e^{–2x} + \tfrac{1}{9}e^{–x}.

Passo 6

A solução geral é \n\n y(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{–4x} – \tfrac{1}{4}e^{–2x} + \tfrac{1}{9}e^{–x}. \n\n Impondo y(0)=1 e y’(0)=0, encontramos o sistema \n\n C_1 + C_2 – \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{9} = 1, \ 2C_1 – 4C_2 + \tfrac{1}{2} – \tfrac{1}{9} = 0. \n\n Disso vem C_1 = 25/36 e C_2 = 4/9.

Passo 7

Portanto, a solução que satisfaz as condições iniciais é:

Resposta

$ y(x) = 2536e^2x + 49e^4x 14e^2x + 19e^x

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