Considere os seguintes conjuntos de réplicas de medidas:
* A B * C D * E F
3,5 70,24 0,812 2,7 70,65 0,514
3,1 70,22 0,792 3,0 70,63 0,503
3,1 70,10 0,794 2,6 70,64 0,486
3,3 0,900 2,8 70,21 0,497
2,5 3,2 0,472
Calcule a média e o desvio padrão para cada um dos seis conjuntos de dados. Calcule o intervalo de confiança de 95 % para cada conjunto de dados. Qual o significado desse intervalo?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos apresenta seis conjuntos de dados, identificados de A a F, com diferentes medidas. Precisamos calcular a média e o desvio padrão para cada conjunto. Depois, vamos determinar o intervalo de confiança de 95% para cada um deles. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística básica, como média, desvio padrão e intervalo de confiança, além de aplicar fórmulas matemáticas para esses cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de cada conjunto de dados. A média é basicamente o valor médio das medidas e é calculada somando todos os valores e dividindo pela quantidade de medidas. A fórmula da média é:
Média (barx) = sumi=1^n xin é
Onde:
  • $ x_i $ são os valores individuais.
  • $ n $ é o número total de medidas.
Vamos calcular a média para cada conjunto:
  • Conjunto A: 3,5; 3,1; 3,1; 3,3; 2,5
  • Conjunto B: 70,24; 70,22; 70,10
  • Conjunto C: 0,812; 0,792; 0,794; 0,900
  • Conjunto D: 2,7; 3,0; 2,6; 2,8; 3,2
  • Conjunto E: 70,65; 70,63; 70,64; 70,21
  • Conjunto F: 0,514; 0,503; 0,486; 0,497; 0,472

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão de cada conjunto. O desvio padrão nos mostra o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula do desvio padrão amostral é:
s = raizsumi=1^n (xi - barx)^2n-1
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média.
  • $ x_i $ são os valores individuais.
  • $ n $ é o número total de medidas.
Vamos calcular o desvio padrão para cada conjunto usando essa fórmula.

Passo 4

Depois de obter a média e o desvio padrão, vamos calcular o intervalo de confiança de 95% para cada conjunto. Esse intervalo nos dá uma faixa na qual esperamos que a verdadeira média da população esteja, com 95% de confiança. A fórmula para o intervalo de confiança é:
IC = barx pm talpha/2 times sraizn
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média.
  • $ t_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança desejado.
  • $ s $ é o desvio padrão.
  • $ n $ é o número de medidas.
Vamos determinar o valor de $ t_{\alpha/2} $ para cada conjunto, considerando o grau de liberdade ($ n-1 $) e um nível de confiança de 95%.

Passo 5

Calculando as médias:
  1. Conjunto A:
    • Valores: 3,5; 3,1; 3,1; 3,3; 2,5
    • Média: barxA = 3,5 + 3,1 + 3,1 + 3,3 + 2,55 = 15,55 = 3,1
  2. Conjunto B:
    • Valores: 70,24; 70,22; 70,10
    • Média: barxB = 70,24 + 70,22 + 70,103 = 210,563 approx 70,19
  3. Conjunto C:
    • Valores: 0,812; 0,792; 0,794; 0,900
    • Média: barxC = 0,812 + 0,792 + 0,794 + 0,9004 = 3,2984 approx 0,8245
  4. Conjunto D:
    • Valores: 2,7; 3,0; 2,6; 2,8; 3,2
    • Média: barxD = 2,7 + 3,0 + 2,6 + 2,8 + 3,25 = 14,35 = 2,86
  5. Conjunto E:
    • Valores: 70,65; 70,63; 70,64; 70,21
    • Média: barxE = 70,65 + 70,63 + 70,64 + 70,214 = 282,134 = 70,5325
  6. Conjunto F:
    • Valores: 0,514; 0,503; 0,486; 0,497; 0,472
    • Média: barxF = 0,514 + 0,503 + 0,486 + 0,497 + 0,4725 = 2,4725 = 0,4944

Passo 6

Calculando os desvios padrão:
  1. Conjunto A:
    • Média: 3,1
    • Cálculo: sA = raiz(3,5-3,1)^2 + (3,1-3,1)^2 + (3,1-3,1)^2 + (3,3-3,1)^2 + (2,5-3,1)^25-1 = raiz0,16 + 0 + 0 + 0,04 + 0,364 = raiz0,564 = raiz0,14 approx 0,374
  2. Conjunto B:
    • Média: 70,19
    • Cálculo: sB = raiz(70,24-70,19)^2 + (70,22-70,19)^2 + (70,10-70,19)^23-1 = raiz0,0025 + 0,0009 + 0,00812 = raiz0,01152 = raiz0,00575 approx 0,0758
  3. Conjunto C:
    • Média: 0,8245
    • Cálculo: sC = raiz(0,812-0,8245)^2 + (0,792-0,8245)^2 + (0,794-0,8245)^2 + (0,900-0,8245)^24-1 approx raiz0,000154 + 0,001281 + 0,000915 + 0,0052563 approx raiz0,0076063 approx 0,0506
  4. Conjunto D:
    • Média: 2,86
    • Cálculo: sD = raiz(2,7-2,86)^2 + (3,0-2,86)^2 + (2,6-2,86)^2 + (2,8-2,86)^2 + (3,2-2,86)^25-1 approx raiz0,0256 + 0,0196 + 0,0676 + 0,0036 + 0,11564 approx raiz0,2324 approx 0,241
  5. Conjunto E:
    • Média: 70,5325
    • Cálculo: sE = raiz(70,65-70,5325)^2 + (70,63-70,5325)^2 + (70,64-70,5325)^2 + (70,21-70,5325)^24-1 approx raiz0,0139 + 0,0091 + 0,0114 + 0,10253 approx raiz0,13693 approx 0,214
  6. Conjunto F:
    • Média: 0,4944
    • Cálculo: sF = raiz(0,514-0,4944)^2 + (0,503-0,4944)^2 + (0,486-0,4944)^2 + (0,497-0,4944)^2 + (0,472-0,4944)^25-1 approx raiz0,000385 + 0,000072 + 0,000073 + 0,000006 + 0,0004984 approx raiz0,0010344 approx 0,0161

Passo 7

Calculando os intervalos de confiança de 95%:
Para calcular o intervalo de confiança, precisamos do valor crítico $ t_{\alpha/2} $ da distribuição t de Student, que depende do nível de confiança e dos graus de liberdade ($ n-1 $).
Vamos considerar $ t_{\alpha/2} $ para 95% de confiança:
  • Conjunto A: $ n = 5 $ → graus de liberdade $ df = 4 $ → $ t_{0,025} \approx 2,776 $
  • Conjunto B: $ n = 3 $ → $ df = 2 $ → $ t_{0,025} \approx 4,303 $
  • Conjunto C: $ n = 4 $ → $ df = 3 $ → $ t_{0,025} \approx 3,182 $
  • Conjunto D: $ n = 5 $ → $ df = 4 $ → $ t_{0,025} \approx 2,776 $
  • Conjunto E: $ n = 4 $ → $ df = 3 $ → $ t_{0,025} \approx 3,182 $
  • Conjunto F: $ n = 5 $ → $ df = 4 $ → $ t_{0,025} \approx 2,776 $
Agora, aplicando a fórmula do intervalo de confiança:
talpha/2
Vamos calcular para cada conjunto:
  1. Conjunto A:
    n-1
    Resultado: $ [2,636; 3,564] $
  2. Conjunto B:
    talpha/2
    Resultado: $ [70,002; 70,378] $
  3. Conjunto C:
    n = 5
    Resultado: $ [0,744; 0,905] $
  4. Conjunto D:
    df = 4
    Resultado: $ [2,560; 3,160] $
  5. Conjunto E:
    t0,025 approx 2,776
    Resultado: $ [70,193; 70,873] $
  6. Conjunto F:
    n = 3
    Resultado: $ [0,474; 0,514] $

Resposta

Calculamos a média, o desvio padrão e o intervalo de confiança de 95% para cada conjunto de dados:
  • Conjunto A:
    • Média: 3,1
    • Desvio Padrão: ≈ 0,374
    • Intervalo de Confiança: [2,636; 3,564]
  • Conjunto B:
    • Média: ≈ 70,19
    • Desvio Padrão: ≈ 0,0758
    • Intervalo de Confiança: [70,002; 70,378]
  • Conjunto C:
    • Média: ≈ 0,8245
    • Desvio Padrão: ≈ 0,0506
    • Intervalo de Confiança: [0,744; 0,905]
  • Conjunto D:
    • Média: 2,86
    • Desvio Padrão: ≈ 0,241
    • Intervalo de Confiança: [2,560; 3,160]
  • Conjunto E:
    • Média: ≈ 70,5325
    • Desvio Padrão: ≈ 0,214
    • Intervalo de Confiança: [70,193; 70,873]
  • Conjunto F:
    • Média: ≈ 0,4944
    • Desvio Padrão: ≈ 0,0161
    • Intervalo de Confiança: [0,474; 0,514]
Significado do Intervalo de Confiança de 95%:
Esse intervalo indica que estamos 95% confiantes de que a verdadeira média da população, de onde as amostras foram retiradas, está dentro desse intervalo. Ou seja, se repetíssemos o experimento várias vezes, em 95% das vezes a média calculada estaria dentro desse intervalo.

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