Considere os seguintes conjuntos de réplicas de medidas:
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3,5 | 70,24 | 0,812 | 2,7 | 70,65 | 0,514 |
3,1 | 70,22 | 0,792 | 3,0 | 70,63 | 0,503 |
3,1 | 70,10 | 0,794 | 2,6 | 70,64 | 0,486 |
3,3 | 0,900 | 2,8 | 70,21 | 0,497 | |
2,5 | 3,2 | 0,472 |
Calcule a média e o desvio padrão para cada um dos seis conjuntos de dados. Calcule o intervalo de confiança de
para cada conjunto de dados. Qual o significado desse intervalo?
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício nos apresenta seis conjuntos de dados, identificados de A a F, com diferentes medidas. Precisamos calcular a média e o desvio padrão para cada conjunto. Depois, vamos determinar o intervalo de confiança de 95% para cada um deles. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística básica, como média, desvio padrão e intervalo de confiança, além de aplicar fórmulas matemáticas para esses cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média de cada conjunto de dados. A média é basicamente o valor médio das medidas e é calculada somando todos os valores e dividindo pela quantidade de medidas. A fórmula da média é:
Onde:
- $ x_i $ são os valores individuais.
- $ n $ é o número total de medidas.
Vamos calcular a média para cada conjunto:
- Conjunto A: 3,5; 3,1; 3,1; 3,3; 2,5
- Conjunto B: 70,24; 70,22; 70,10
- Conjunto C: 0,812; 0,792; 0,794; 0,900
- Conjunto D: 2,7; 3,0; 2,6; 2,8; 3,2
- Conjunto E: 70,65; 70,63; 70,64; 70,21
- Conjunto F: 0,514; 0,503; 0,486; 0,497; 0,472
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão de cada conjunto. O desvio padrão nos mostra o quanto os valores estão espalhados em relação à média. A fórmula do desvio padrão amostral é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média.
- $ x_i $ são os valores individuais.
- $ n $ é o número total de medidas.
Vamos calcular o desvio padrão para cada conjunto usando essa fórmula.
Passo 4
Depois de obter a média e o desvio padrão, vamos calcular o intervalo de confiança de 95% para cada conjunto. Esse intervalo nos dá uma faixa na qual esperamos que a verdadeira média da população esteja, com 95% de confiança. A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média.
- $ t_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição t de Student para o nível de confiança desejado.
- $ s $ é o desvio padrão.
- $ n $ é o número de medidas.
Vamos determinar o valor de $ t_{\alpha/2} $ para cada conjunto, considerando o grau de liberdade ($ n-1 $) e um nível de confiança de 95%.
Passo 5
Calculando as médias:
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Conjunto A:
- Valores: 3,5; 3,1; 3,1; 3,3; 2,5
- Média:
-
Conjunto B:
- Valores: 70,24; 70,22; 70,10
- Média:
-
Conjunto C:
- Valores: 0,812; 0,792; 0,794; 0,900
- Média:
-
Conjunto D:
- Valores: 2,7; 3,0; 2,6; 2,8; 3,2
- Média:
-
Conjunto E:
- Valores: 70,65; 70,63; 70,64; 70,21
- Média:
-
Conjunto F:
- Valores: 0,514; 0,503; 0,486; 0,497; 0,472
- Média:
Passo 6
Calculando os desvios padrão:
-
Conjunto A:
- Média: 3,1
- Cálculo:
-
Conjunto B:
- Média: 70,19
- Cálculo:
-
Conjunto C:
- Média: 0,8245
- Cálculo:
-
Conjunto D:
- Média: 2,86
- Cálculo:
-
Conjunto E:
- Média: 70,5325
- Cálculo:
-
Conjunto F:
- Média: 0,4944
- Cálculo:
Passo 7
Calculando os intervalos de confiança de 95%:
Para calcular o intervalo de confiança, precisamos do valor crítico $ t_{\alpha/2} $ da distribuição t de Student, que depende do nível de confiança e dos graus de liberdade ($ n-1 $).
Vamos considerar $ t_{\alpha/2} $ para 95% de confiança:
- Conjunto A: $ n = 5 $ → graus de liberdade $ df = 4 $ → $ t_{0,025} \approx 2,776 $
- Conjunto B: $ n = 3 $ → $ df = 2 $ → $ t_{0,025} \approx 4,303 $
- Conjunto C: $ n = 4 $ → $ df = 3 $ → $ t_{0,025} \approx 3,182 $
- Conjunto D: $ n = 5 $ → $ df = 4 $ → $ t_{0,025} \approx 2,776 $
- Conjunto E: $ n = 4 $ → $ df = 3 $ → $ t_{0,025} \approx 3,182 $
- Conjunto F: $ n = 5 $ → $ df = 4 $ → $ t_{0,025} \approx 2,776 $
Agora, aplicando a fórmula do intervalo de confiança:
Vamos calcular para cada conjunto:
-
Conjunto A:Resultado: $ [2,636; 3,564] $
-
Conjunto B:Resultado: $ [70,002; 70,378] $
-
Conjunto C:Resultado: $ [0,744; 0,905] $
-
Conjunto D:Resultado: $ [2,560; 3,160] $
-
Conjunto E:Resultado: $ [70,193; 70,873] $
-
Conjunto F:Resultado: $ [0,474; 0,514] $
Resposta
Calculamos a média, o desvio padrão e o intervalo de confiança de 95% para cada conjunto de dados:
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Conjunto A:
- Média: 3,1
- Desvio Padrão: ≈ 0,374
- Intervalo de Confiança: [2,636; 3,564]
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Conjunto B:
- Média: ≈ 70,19
- Desvio Padrão: ≈ 0,0758
- Intervalo de Confiança: [70,002; 70,378]
-
Conjunto C:
- Média: ≈ 0,8245
- Desvio Padrão: ≈ 0,0506
- Intervalo de Confiança: [0,744; 0,905]
-
Conjunto D:
- Média: 2,86
- Desvio Padrão: ≈ 0,241
- Intervalo de Confiança: [2,560; 3,160]
-
Conjunto E:
- Média: ≈ 70,5325
- Desvio Padrão: ≈ 0,214
- Intervalo de Confiança: [70,193; 70,873]
-
Conjunto F:
- Média: ≈ 0,4944
- Desvio Padrão: ≈ 0,0161
- Intervalo de Confiança: [0,474; 0,514]
Significado do Intervalo de Confiança de 95%:
Esse intervalo indica que estamos 95% confiantes de que a verdadeira média da população, de onde as amostras foram retiradas, está dentro desse intervalo. Ou seja, se repetíssemos o experimento várias vezes, em 95% das vezes a média calculada estaria dentro desse intervalo.
Esse intervalo indica que estamos 95% confiantes de que a verdadeira média da população, de onde as amostras foram retiradas, está dentro desse intervalo. Ou seja, se repetíssemos o experimento várias vezes, em 95% das vezes a média calculada estaria dentro desse intervalo.