Obtenha uma parametrização de uma elipse \mathcal{C} no espaço tal que:
Cestá no plano \alpha: 2 x-3 y+4 z=0, centro na origem, eixo maior na direção de \vec{v}=(3,2,0), a=5 e b=3.
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização de uma elipse \mathcal{C} centrada na origem, pertencente ao plano
\alpha: 2x - 3y + 4z = 0,
com semieixos a=5 (maior) e b=3, sendo o eixo maior paralelo ao vetor \vec v=(3,2,0).
Passo 2
Primeiro encontramos um vetor unitário \vec u_1 na direção de \vec v. Como \|\,(3,2,0)\|=\sqrt{3^2+2^2+0^2}=\sqrt{13}, temos
\vec u_1 = \frac{1}{\sqrt{13}}(3,2,0).
Passo 3
Para completar uma base ortonormal do plano \alpha, precisamos de um vetor \vec u_2 unitário, ortogonal a \vec u_1 e contido em \alpha. O vetor normal ao plano é
\vec n=(2,-3,4).
Tomamos o produto vetorial \vec n\times \vec u_1, que já estará em \alpha e perpendicular a \vec u_1: