Obtenha uma parametrização de uma elipse \mathcal{C} no espaço tal que:
Cestá no plano \alpha: 2 x-3 y+4 z=0, centro na origem, eixo maior na direção de \vec{v}=(3,2,0), a=5 e b=3.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização de uma elipse \mathcal{C} centrada na origem, pertencente ao plano
\alpha: 2x - 3y + 4z = 0,
com semieixos a=5 (maior) e b=3, sendo o eixo maior paralelo ao vetor \vec v=(3,2,0).

Passo 2

Primeiro encontramos um vetor unitário \vec u_1 na direção de \vec v. Como \|\,(3,2,0)\|=\sqrt{3^2+2^2+0^2}=\sqrt{13}, temos
\vec u_1 = \frac{1}{\sqrt{13}}(3,2,0).

Passo 3

Para completar uma base ortonormal do plano \alpha, precisamos de um vetor \vec u_2 unitário, ortogonal a \vec u_1 e contido em \alpha. O vetor normal ao plano é
\vec n=(2,-3,4).
Tomamos o produto vetorial \vec n\times \vec u_1, que já estará em \alpha e perpendicular a \vec u_1:
\vec n\times \vec u_1 =\det\begin{pmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\ 2&-3&4\\\ 3/\sqrt{13}&2/\sqrt{13}&0\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{13}}(-8,\,12,\,13).
O módulo desse vetor é \sqrt{29}, pois
\|(-8,12,13)\|^2=64+144+169=377=13\cdot29.
Logo o vetor unitário é
\vec u_2 =\frac{1}{\sqrt{13}}\frac{1}{\sqrt{29}}\,(-8,12,13) =\frac{1}{\sqrt{377}}(-8,12,13).

Passo 4

Usamos a forma padrão de parametrização de elipse no plano gerado por \{\vec u_1,\vec u_2\}:
\vec r(t) = a\,\vec u_1\cos t \;+\; b\,\vec u_2\sin t \quad,\quad t\in[0,2\pi].
Substituindo a=5, b=3, \vec u_1 e \vec u_2, obtemos
\vec r(t) =5\frac{(3,2,0)}{\sqrt{13}}\cos t \;+\; 3\frac{(-8,12,13)}{\sqrt{377}}\sin t.

Resposta

\boxed{ \vec r(t) =\frac{5}{\sqrt{13}}(3,2,0)\cos t \;+\; \frac{3}{\sqrt{377}}(-8,12,13)\sin t, \quad t\in[0,2\pi]. }

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