Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
\mathbb{R}^{4} ?
R=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x=0\right. e \left.y=-w\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
R = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x=0\text{ e }y=-w\}
e pergunta se R é subespaço de \mathbb{R}^4. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço: verificar se o vetor zero está em R, se R é fechado sob soma e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero está em R. O vetor zero em \mathbb{R}^4 é (0,0,0,0). Nele temos x=0 e y=0, e também -w = -0 = 0, logo y=-w se mantém. Portanto
(0,0,0,0)\in R.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Sejam
u=(0,y_1,z_1,w_1)\in R\quad\text{e}\quad v=(0,y_2,z_2,w_2)\in R,
onde y_1=-w_1 e y_2=-w_2. Então
u+v = (0,y_1+y_2,z_1+z_2,w_1+w_2).
Como y_1+y_2 = -w_1 + (-w_2) = -(w_1+w_2), concluímos que u+v satisfaz x=0 e y=-(w_1+w_2). Logo u+v\in R.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e
u=(0,y,z,w)\in R
com y=-w. Então
\alpha u = (0,\alpha y,\alpha z,\alpha w).
Como \alpha y = \alpha(-w) = -(\alpha w), segue que \alpha u satisfaz x=0 e y=-(\alpha w). Logo \alpha u\in R.

Resposta

R é subespaço de \mathbb{R}^4.

Exercícios relacionados