Dê um exemplo de um espaço vetorial V e de dois subespaços U e W de V
tal que U \cap W não é apenas o elemento neutro de V.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de um espaço vetorial V e de dois subespaços U e W tais que a interseção U\cap W seja maior que o subespaço trivial \{0\}. O conteúdo principal é subespaços e interseção de subespaços em álgebra linear.

Passo 2

Escolhemos como espaço vetorial
V = \mathbb{R}^3.
Definimos dois planos de coordenadas em \mathbb{R}^3:
U = \{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\},
W = \{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

Vamos verificar que U e W são subespaços de \mathbb{R}^3.
Cada um contém o vetor zero (0,0,0). Sejam \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in U e \lambda\in\mathbb{R}. Como \mathbf{u}_1=(x_1,y_1,0) e \mathbf{u}_2=(x_2,y_2,0), tem-se \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2=(x_1+x_2,y_1+y_2,0)\in U e \lambda\mathbf{u}_1=(\lambda x_1,\lambda y_1,0)\in U. O mesmo argumento serve para W, mostrando fechamento em soma e multiplicação por escalar.

Passo 4

Agora calculamos a interseção U\cap W. Um vetor \mathbf{v}=(x,y,z) pertence a U\cap W se, e somente se, satisfaz simultaneamente z=0 (para estar em U) e y=0 (para estar em W). Logo
U\cap W = \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
que é justamente o eixo x. Esse subespaço contém vetores diferentes de zero, portanto não é apenas \{0\}.

Resposta

V = \mathbb{R}^3,
U = \{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\},
W = \{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\},
e
U\cap W = \{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\} \neq \{0\}.

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