Dê um exemplo de um espaço vetorial
e de dois subespaços
e
de
tal que
não é apenas o elemento neutro de
.
tal que
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de um espaço vetorial
e de dois subespaços
e
tais que a interseção
seja maior que o subespaço trivial
. O conteúdo principal é subespaços e interseção de subespaços em álgebra linear.
Passo 2
Escolhemos como espaço vetorial
Definimos dois planos de coordenadas em
:
Passo 3
Vamos verificar que
e
são subespaços de
.
Cada um contém o vetor zero . Sejam
e
. Como
e
, tem-se
e
. O mesmo argumento serve para
, mostrando fechamento em soma e multiplicação por escalar.
Cada um contém o vetor zero
Passo 4
Agora calculamos a interseção
. Um vetor
pertence a
se, e somente se, satisfaz simultaneamente
(para estar em
) e
(para estar em
). Logo
que é justamente o eixo
. Esse subespaço contém vetores diferentes de zero, portanto não é apenas
.
Resposta
V =
,
U = ,
W = ,
e
U =
W =
e