Em (\mathbb{R}^{2}), mantenhamos a definição do produto
de um escalar por um vetor mas modifiquemos, de 2 maneiras diferentes, a definição da soma
dos vetores
e
. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
.
Passo 1
O enunciado diz que em
mantemos o produto escalar usual
porém redefinimos a soma de vetores
e
como
Precisamos verificar, para essa estrutura, quais axiomas de espaço vetorial permanecem válidos e quais falham.
Passo 2
Verificamos primeiramente as propriedades de soma:
- Comutatividade:
Logo, a soma é comutativa.
2. Associatividade: seja .
2. Associatividade: seja
e
Portanto, é associativa.
Passo 3
Procuramos o elemento neutro
tal que
Isto exige
e
. Logo, o neutro aditivo existe e é
.
Passo 4
Para ter inverso aditivo de
, precisamos
.
Isso dá e
, que só existe se
e
.
Como em há vetores com coordenadas nulas, nem todo vetor tem inverso.
Portanto, falha o axioma da existência de inverso aditivo para todos os vetores.
Isso dá
Como em
Portanto, falha o axioma da existência de inverso aditivo para todos os vetores.
Passo 5
Agora as propriedades de produto escalar (mantido usual):
- Fechamento: óbvio,
. -
, pois . -
, pois
e
Logo, esses axiomas mantêm-se.
Passo 6
Restam as duas distributividades:
-
.
Lado esquerdo:
Lado direito:
Não coincidem para
. Logo, falha a distributividade sobre soma de vetores.
2. .
Lado esquerdo:
2.
Lado esquerdo:
Lado direito:
Tampouco coincide em geral, então falha a distributividade sobre soma de escalares.
Resposta
Válidos:
• Comutatividade da soma
• Associatividade da soma
• Existência de elemento neutro aditivo (que é )
• Fechamento sob soma e escalar
•
•
• Comutatividade da soma
• Associatividade da soma
• Existência de elemento neutro aditivo (que é
• Fechamento sob soma e escalar
•
•
Violados:
• Existência de inverso aditivo para todo vetor
•
•
• Existência de inverso aditivo para todo vetor
•
•