Em (\mathbb{R}^{2}), mantenhamos a definição do produto \alpha v de um escalar por um vetor mas modifiquemos, de 2 maneiras diferentes, a definição da soma u+v dos vetores u=(x, y) e v=(a, b). Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
\newline u+v=(x a, y b).

Passo 1

O enunciado diz que em \mathbb{R}^2 mantemos o produto escalar usual
\alpha\cdot (x,y)=(\alpha x,\alpha y)
porém redefinimos a soma de vetores u=(x,y) e v=(a,b) como
u+v=(x\,a,\;y\,b).
Precisamos verificar, para essa estrutura, quais axiomas de espaço vetorial permanecem válidos e quais falham.

Passo 2

Verificamos primeiramente as propriedades de soma:
  1. Comutatividade:
u+v=(x\,a,\;y\,b)=(a\,x,\;b\,y)=v+u.
Logo, a soma é comutativa.
2. Associatividade: seja w=(c,d).
(u+v)+w=((x\,a)\,c,\;(y\,b)\,d)=(x\,a\,c,\;y\,b\,d)
e
u+(v+w)=(x\,(a\,c),\;y\,(b\,d))=(x\,a\,c,\;y\,b\,d).
Portanto, é associativa.

Passo 3

Procuramos o elemento neutro e=(e_1,e_2) tal que
e+v=(e_1\,a,\;e_2\,b)=(a,b)=v\quad\forall v=(a,b).
Isto exige e_1=1 e e_2=1. Logo, o neutro aditivo existe e é (1,1).

Passo 4

Para ter inverso aditivo de v=(x,y), precisamos (x\,x',\;y\,y')=(1,1).
Isso dá x'=\tfrac1x e y'=\tfrac1y, que só existe se x\neq0 e y\neq0.
Como em \mathbb{R}^2 há vetores com coordenadas nulas, nem todo vetor tem inverso.
Portanto, falha o axioma da existência de inverso aditivo para todos os vetores.

Passo 5

Agora as propriedades de produto escalar (mantido usual):
  1. Fechamento: óbvio, \alpha(x,y)=(\alpha x,\alpha y)\in\mathbb{R}^2.
  2. 1\cdot v=v, pois (1\cdot x,1\cdot y)=(x,y).
  3. (\alpha\beta)v=\alpha(\beta v), pois
(\alpha\beta)\cdot(x,y)=(\alpha\beta x,\;\alpha\beta y)
e
\alpha\cdot(\beta x,\beta y)=(\alpha\beta x,\;\alpha\beta y).
Logo, esses axiomas mantêm-se.

Passo 6

Restam as duas distributividades:
  1. \alpha(u+v)\stackrel?=\alpha u+\alpha v.
    Lado esquerdo:
\alpha(u+v)=\alpha(x\,a,\;y\,b)=(\alpha x\,a,\;\alpha y\,b).
Lado direito:
\alpha u+\alpha v=(\alpha x,\;\alpha y)+(\alpha a,\;\alpha b) =(\alpha x\,\alpha a,\;\alpha y\,\alpha b)=(\alpha^2 x\,a,\;\alpha^2 y\,b).
Não coincidem para \alpha\neq0,1. Logo, falha a distributividade sobre soma de vetores.
2. (\alpha+\beta)v\stackrel?=\alpha v+\beta v.
Lado esquerdo:
(\alpha+\beta)v=((\alpha+\beta)x,\;(\alpha+\beta)y).
Lado direito:
\alpha v+\beta v=(\alpha x,\alpha y)+(\beta x,\beta y) =(\alpha x\,\beta x,\;\alpha y\,\beta y)=(\alpha\beta x^2,\;\alpha\beta y^2).
Tampouco coincide em geral, então falha a distributividade sobre soma de escalares.

Resposta

Válidos:
• Comutatividade da soma
• Associatividade da soma
• Existência de elemento neutro aditivo (que é (1,1))
• Fechamento sob soma e escalar
(\alpha\beta)v=\alpha(\beta v)
1\cdot v=v
Violados:
• Existência de inverso aditivo para todo vetor
\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v
(\alpha+\beta)v=\alpha v+\beta v

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