Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de
\mathbb{R}^{4} ?
Q=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; z=x=2 y\right. e \left.w=x-3 y\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
Q = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid z = x = 2y,\; w = x-3y\}
é um subespaço de \mathbb{R}^4.
Conteúdo: teste de subespaço (conter o vetor zero, fechamento em soma e em produto por escalar).

Passo 2

Expressamos as relações de Q em função de um único parâmetro. De x=2y e z=x segue z=2y. De w=x-3y e x=2y segue w=2y-3y=-y. Logo todo vetor de Q é
(x,y,z,w) = (2y,\;y,\;2y,\;-y) = y\,(2,1,2,-1).

Passo 3

Como todo vetor em Q tem a forma y\,(2,1,2,-1), podemos escrever
Q = \{\,y\,(2,1,2,-1)\mid y\in\mathbb{R}\} = \operatorname{span}\{(2,1,2,-1)\}.
Qualquer conjunto dado pelo span de um vetor não-nulo é um subespaço, pois contém o zero (quando y=0), fecha em soma e em produto por escalar.

Resposta

Q é subespaço de \mathbb{R}^4.

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