Verifique que:
\quad \mathrm{O} \quad subconjunto U, do espaço vetorial real P_{2}(\mathbb{R}), definido por U=\left\{p(x) \in P_{2}(\mathbb{R}) ; \int_{-1}^{1} p(x) d x+p^{\prime}(0)=0\right\} é um subespaço vetorial de P_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
U = \bigl\{\,p(x)\in P_{2}(\mathbb{R}) \mid \int_{-1}^{1}p(x)\,dx + p'(0)=0\bigr\}
e pede para mostrar que U é subespaço vetorial de P_{2}(\mathbb{R}). Vamos usar o critério padrão: verificar que U contém o polinômio zero, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o polinômio zero está em U. Seja p(x)=0. Então
\int_{-1}^{1}0\,dx = 0
e
p'(0) = 0.
Logo
\int_{-1}^{1}p(x)\,dx + p'(0) = 0 + 0 = 0,
portanto 0\in U.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos p,q\in U. Então
\int_{-1}^{1}p(x)\,dx + p'(0) = 0, \quad \int_{-1}^{1}q(x)\,dx + q'(0) = 0.
Para p+q vale
\int_{-1}^{1}\bigl(p(x)+q(x)\bigr)dx = \int_{-1}^{1}p(x)\,dx + \int_{-1}^{1}q(x)\,dx
e
(p+q)'(0) = p'(0) + q'(0).
Somando,
\int_{-1}^{1}(p+q)(x)\,dx + (p+q)'(0) = \bigl(\int_{-1}^{1}p + p'(0)\bigr) + \bigl(\int_{-1}^{1}q + q'(0)\bigr) = 0 + 0 = 0.
Logo p+q\in U.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e p\in U. Então
\int_{-1}^{1}\bigl(\alpha p(x)\bigr)\,dx = \alpha \int_{-1}^{1}p(x)\,dx, \quad (\alpha p)'(0) = \alpha\,p'(0).
Logo
\int_{-1}^{1}\alpha p(x)\,dx + (\alpha p)'(0) = \alpha\Bigl(\int_{-1}^{1}p(x)\,dx + p'(0)\Bigr) = \alpha\cdot 0 = 0,
portanto \alpha p\in U.

Resposta

Concluímos que U contém o polinômio zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Logo
U é um subespaço vetorial de P_{2}(\mathbb{R}).

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