Defina:
a) Espaço Vetorial;
b) Subespaço Vetorial.

Passo 1

O enunciado pede duas definições fundamentais de álgebra linear: (a) o que é um espaço vetorial e (b) o que é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar os axiomas que caracterizam essas estruturas sobre um corpo (campo) \,F, e um conjunto \,V,.

Passo 2

Definição de espaço vetorial.
Um conjunto V junto com operações de soma de vetores
+:V\times V\to V
e de multiplicação por escalar
\cdot: F\times V\to V
é um espaço vetorial sobre o corpo F se, e somente se, satisfaz os seguintes axiomas:
1. (Fechamento da soma) \forall u,v\in V,\;u+v\in V. 2. (Comutatividade da soma) \forall u,v\in V,\;u+v=v+u. 3. (Associatividade da soma) \forall u,v,w\in V,\;(u+v)+w = u+(v+w). 4. (Elemento neutro na soma) \exists\,0_V\in V tal que \forall u\in V,\;u+0_V = u. 5. (Inverso aditivo) \forall u\in V,\;\exists\,(-u)\in V com u + (-u) = 0_V. 6. (Fechamento da multiplicação escalar) \forall \alpha\in F,\;\forall u\in V,\;\alpha\,u\in V. 7. (Distributividade escalar sobre soma de vetores) \forall \alpha\in F,\;\forall u,v\in V,\;\alpha\,(u+v)=\alpha u+\alpha v. 8. (Distributividade escalar sobre soma de escalares) \forall \alpha,\beta\in F,\;\forall u\in V,\;(\alpha+\beta)\,u=\alpha u+\beta u. 9. (Compatibilidade de escalares) \forall \alpha,\beta\in F,\;\forall u\in V,\;(\alpha\beta)\,u=\alpha\,(\beta u). 10. (Elemento unitário do corpo) \forall u\in V,\;1_F\cdot u = u.

Passo 3

Definição de subespaço vetorial.
Seja V espaço vetorial sobre F e seja W\subseteq V. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V se, e somente se, satisfaz:
1. W\neq\varnothing.
2. (Fechamento da soma em W) \forall u,v\in W,\;u+v\in W.
3. (Fechamento da multiplicação escalar em W) \forall \alpha\in F,\;\forall u\in W,\;\alpha\,u\in W. A partir dessas três condições (não vazio + fechamento), decorre que W herda automaticamente os demais axiomas de espaço vetorial de V.

Resposta

a) Um espaço vetorial sobre um corpo F é um conjunto V munido de uma soma de vetores e de uma multiplicação por escalar que satisfaz os dez axiomas: fechamento, associatividade e comutatividade da soma; existência de elemento neutro e inverso aditivo; fechamento da multiplicação escalar; distributividades (sobre soma de vetores e soma de escalares); compatibilidade escalar; e ação unitária do escalar 1_F.
b) Um subespaço vetorial de um espaço vetorial V sobre F é qualquer subconjunto W\subseteq V não vazio tal que W seja fechado sob soma de vetores e multiplicação por escalar.

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