Defina:
a) Espaço Vetorial;
b) Subespaço Vetorial.
a) Espaço Vetorial;
b) Subespaço Vetorial.
Passo 1
O enunciado pede duas definições fundamentais de álgebra linear: (a) o que é um espaço vetorial e (b) o que é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar os axiomas que caracterizam essas estruturas sobre um corpo (campo)
, e um conjunto
,.
Passo 2
Definição de espaço vetorial.
Um conjunto junto com operações de soma de vetores
Um conjunto
e de multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre o corpo
se, e somente se, satisfaz os seguintes axiomas:
1. (Fechamento da soma)
2. (Comutatividade da soma)
3. (Associatividade da soma)
4. (Elemento neutro na soma)
tal que
5. (Inverso aditivo)
com
6. (Fechamento da multiplicação escalar)
7. (Distributividade escalar sobre soma de vetores)
8. (Distributividade escalar sobre soma de escalares)
9. (Compatibilidade de escalares)
10. (Elemento unitário do corpo)
Passo 3
Definição de subespaço vetorial.
Seja espaço vetorial sobre
e seja
. Dizemos que
é um subespaço vetorial de
se, e somente se, satisfaz:
Seja
1.
.
2. (Fechamento da soma em )
3. (Fechamento da multiplicação escalar em )
A partir dessas três condições (não vazio + fechamento), decorre que
herda automaticamente os demais axiomas de espaço vetorial de
.
2. (Fechamento da soma em
3. (Fechamento da multiplicação escalar em
Resposta
a) Um espaço vetorial sobre um corpo
é um conjunto
munido de uma soma de vetores e de uma multiplicação por escalar que satisfaz os dez axiomas: fechamento, associatividade e comutatividade da soma; existência de elemento neutro e inverso aditivo; fechamento da multiplicação escalar; distributividades (sobre soma de vetores e soma de escalares); compatibilidade escalar; e ação unitária do escalar
.
b) Um subespaço vetorial de um espaço vetorial
sobre
é qualquer subconjunto
não vazio tal que
seja fechado sob soma de vetores e multiplicação por escalar.